Dubbi sulla lemniscata
Salve a tutti.
Apprendo da un testo francese di analisi dell'esistenza di questa curva, la lemniscata. Si tratta di un otto rovesciato, come il simbolo di infinito.
La formulazione proposta fa uso delle coordinate polari. Eccola:
$rho^2=2a^2cos2omega$
Vi dico cosa non riesce a tornarmi. Quando $omega$ varia tra $pi/4$ e $pi/2$ (e corrispondentemente l'argomento della funzione coseno varia tra $pi/2$ e $pi$, il secondo membro diviene negativo e $rho$ non ammette più soluzioni nel campo dei reali. Giusto?
E allora che succede? Come si chiude la curva (disegnando quell'otto di cui dicevo)? Tutto bene, invece, se $omega$ varia tra $-pi/4$ e $pi/4$: in questo modo si realizza la parte destra della curva. Ma per la parte sinistra?
Grazie e auguri a tutti.
Apprendo da un testo francese di analisi dell'esistenza di questa curva, la lemniscata. Si tratta di un otto rovesciato, come il simbolo di infinito.
La formulazione proposta fa uso delle coordinate polari. Eccola:
$rho^2=2a^2cos2omega$
Vi dico cosa non riesce a tornarmi. Quando $omega$ varia tra $pi/4$ e $pi/2$ (e corrispondentemente l'argomento della funzione coseno varia tra $pi/2$ e $pi$, il secondo membro diviene negativo e $rho$ non ammette più soluzioni nel campo dei reali. Giusto?
E allora che succede? Come si chiude la curva (disegnando quell'otto di cui dicevo)? Tutto bene, invece, se $omega$ varia tra $-pi/4$ e $pi/4$: in questo modo si realizza la parte destra della curva. Ma per la parte sinistra?
Grazie e auguri a tutti.
Risposte
"alfredo":
Salve a tutti.
Apprendo da un testo francese di analisi dell'esistenza di questa curva, la lemniscata. Si tratta di un otto rovesciato, come il simbolo di infinito.
La formulazione proposta fa uso delle coordinate polari. Eccola:
$rho^2=2a^2cos2omega$
Vi dico cosa non riesce a tornarmi. Quando $omega$ varia tra $pi/4$ e $pi/2$ (e corrispondentemente l'argomento della funzione coseno varia tra $pi/2$ e $pi$, il secondo membro diviene negativo e $rho$ non ammette più soluzioni nel campo dei reali. Giusto?
E allora che succede? Come si chiude la curva (disegnando quell'otto di cui dicevo)? Tutto bene, invece, se $omega$ varia tra $-pi/4$ e $pi/4$: in questo modo si realizza la parte destra della curva. Ma per la parte sinistra?
Grazie e auguri a tutti.
Ovviamente l'equazione polare che riporti ha senso solo per quei valori di $omega$ tali che $cos2omega ge0$: tali sono gli $omega in [-pi/4,pi/4]cup[3/4 pi,5/4 pi]$ (mod. $2pi$).
Per $omega in [-pi/4,pi/4]$ (mod. $2pi$) ottieni il ramo di lemniscata nel semipiano $xge0$, mentre per $omega in [3/4 pi,5/4 pi]$ (mod. $2pi$) ottieni il ramo di curva nel semipiano $xle0$; per $omega=-pi/4,pi/4,3/4 pi,5/4 pi$ ottieni $rho=0$ ossia l'origine degli assi.
Ti interesserà sapere che la lemniscata è una curva algebrica, ossia è il luogo delle radici di un polinomio nelle due variabili $x,y$: infatti, facendo un po' di calcoli, si trova che la lemniscata è il luogo dei punti $(x,y) in RR^2$ che risolvono l'equazione:
$(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2) quad$ ossia $quad (x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)=0$
quindi la curva considerata è una curva algebrica del quarto ordine.
Grazie gugo, anche per l'ulteriore specificazione cartesiana.
Ma, mi chiedo, è questa una funzione che risponde alla definizione classica di funzione (ovvero applicazione iniettiva ecc, ecc,). In questo caso non possiamo dire, mi sembra, che dato un x esiste (al massimo) uno ed un solo y. O sbaglio?
Grazie.
Ma, mi chiedo, è questa una funzione che risponde alla definizione classica di funzione (ovvero applicazione iniettiva ecc, ecc,). In questo caso non possiamo dire, mi sembra, che dato un x esiste (al massimo) uno ed un solo y. O sbaglio?
Grazie.
"alfredo":
Grazie gugo, anche per l'ulteriore specificazione cartesiana.
Ma, mi chiedo, è questa una funzione che risponde alla definizione classica di funzione (ovvero applicazione iniettiva ecc, ecc,). In questo caso non possiamo dire, mi sembra, che dato un x esiste (al massimo) uno ed un solo y. O sbaglio?
Grazie.
Dal disegno vedi subito che ogni $x in]-a,a[-{0}$ ha due valori di $y$ corrispondenti, quindi globalmente non puoi scrivere $y=f(x)$ con $f:[-a,a]toRR$ e rappresentare tutta la curva come grafico di una funzione delle due coordinate cartesiane (si può pensare di fare una cosa del genere per le parti della lemniscata nei semipiani $yge0$, $yle0$, ma ciò non è così semplice).
Questa difficoltà viene aggirata portando tutto in coordinate polari: infatti in tale ambito puoi descrivere tutta la curva con il diagramma della funzione $rho(omega)=a*sqrt(2cos2omega)$ con $omega in [-pi/4,pi/4]cup[3/4pi,5/4pi]$ (mod. $2pi$).
La lemniscata di Bernoulli non è che un caso particolare dei famosi "pavesini" (come li chiamo io),
noti con il nome di ovali di Cassini.
Queste curve si ottengono considerando i punti $P$ che hanno la proprietà di avere il
prodotto delle distanze da due punti fissi uguale ad una costante assegnata.
La lemniscata di Bernoulli è un caso particolare, come dicevo, e si ottiene imponendo che
il punto medio dei due punti fissi appartenga al luogo geometrico.
Francesco Daddi
noti con il nome di ovali di Cassini.
Queste curve si ottengono considerando i punti $P$ che hanno la proprietà di avere il
prodotto delle distanze da due punti fissi uguale ad una costante assegnata.
La lemniscata di Bernoulli è un caso particolare, come dicevo, e si ottiene imponendo che
il punto medio dei due punti fissi appartenga al luogo geometrico.
Francesco Daddi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo