Dubbi sulla definizione di insieme semplicemente connesso
Salve a tutti.
Ho un dubbio che riguarda un esempio che ritrovo sugli appunti di un ragazzo che aiuto per l'esame di analisi 2. Sui suoi appunti leggo:
$\mathbb{R}^2\setminus\{\mbox{retta}\}$ è un insieme semplicemente connesso.
Questa cosa è vera? Mi pare proprio di no, non essendo connesso non può essere semplicemente connesso, mi sbaglio? Potreste per favore chiarirmi le idee?
Grazie mille.
Ho un dubbio che riguarda un esempio che ritrovo sugli appunti di un ragazzo che aiuto per l'esame di analisi 2. Sui suoi appunti leggo:
$\mathbb{R}^2\setminus\{\mbox{retta}\}$ è un insieme semplicemente connesso.
Questa cosa è vera? Mi pare proprio di no, non essendo connesso non può essere semplicemente connesso, mi sbaglio? Potreste per favore chiarirmi le idee?
Grazie mille.
Risposte
Un insieme è connesso se è fatto da un solo pezzo, semplicemente linearmente connesso se inoltre non ha buchi. Quindi direi che hai ragione te.
Questione di convenzioni. Di solito uno spazio topologico semplicemente connesso è, per definizione, uno spazio connesso & tale che ogni circuito è omotopo a un punto. Ma la sola condizione di avere tutti i circuiti omotopi a un punto non implica la connessione, come mostra proprio questo esempio.
Intanto vi ringrazio per la risposta. Il mio problema è il seguente:
Se ho un campo $F$ irrotazionale su $\mathbb{R}^2\setminus\{\mbox{retta}\}$ allora posso concludere senza alcun conto che è conservativo? Se la risposta è negativa, potreste gentilmente fornirmi un controesempio? Ancora grazie mille.
Se ho un campo $F$ irrotazionale su $\mathbb{R}^2\setminus\{\mbox{retta}\}$ allora posso concludere senza alcun conto che è conservativo? Se la risposta è negativa, potreste gentilmente fornirmi un controesempio? Ancora grazie mille.
Lemma di Poincaré. Se un campo irrotazionale è definito in un insieme semplicemente linearmente connesso, allora è anche conservativo.
$RR^2\\{text(retta)}$ non è neanche connesso, per cui a priori... "per me è no" (cit.).
$RR^2\\{text(retta)}$ non è neanche connesso, per cui a priori... "per me è no" (cit.).
Si, ma sono quisquilie. E' chiaro che uno avrà un potenziale su un semipiano e un altro potenziale sull'altro semipiano. Questo definisce una funzione su \(\mathbb{R}^2\setminus\text{una retta}\) il cui gradiente è uguale al campo vettoriale dato. Si tratta solo di mettersi d'accordo: questa roba qui è da considerarsi un potenziale o no?
Bubbino dice no, ma un altro potrebbe dire si, dipendendo dalla definizione di "potenziale" che ha scelto in partenza.
Bubbino dice no, ma un altro potrebbe dire si, dipendendo dalla definizione di "potenziale" che ha scelto in partenza.
"dissonance":
E' chiaro che uno avrà un potenziale su un semipiano e un altro potenziale sull'altro semipiano. Questo definisce una funzione su \(\mathbb{R}^2\setminus\text{una retta}\) il cui gradiente è uguale al campo vettoriale dato.
Sono d'accordo se è una domanda aperta. In particolare, ricordo di un esercizio svolto che diceva le stesse cose. Ma se è una domanda vero o falso tipo pretest, che ormai si fanno ovunque ad Analisi Matematica 2, che cosa deve barrare? Per me, falso.
Se ti fanno una domanda del genere ad un test, e se la specifica definizione di "potenziale" in uso non è stata ricordata nella precedente mezz'ora, hai il diritto di protestare.
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