Dubbi sulla convergenza successioni di funzione...
Salve
Ho questa successione di funzioni:
$f_n(x)=(nx)/(1+nx)$ devo studiarne la convergenza puntuale e uniforme.
Intanto studio il C.E , $x!= -1/nx$ quindi la successione di funzioni dovrò studiarla in questo intervallo: $(- oo,-1)$ $ uu $ $(0,+oo) $
Adesso studio la convergenza puntuale:
$ lim_(n) $ $f_n(x)= 0 text( se ) x= 0$
$ lim_(n) $ $f_n(x)= 1 text( se ) x= 0$
E quella uniforme:
$ lim_(n)$ $text(sup) $ $|(nx)/(1+nx)-1|=lim_(n) text(sup)|-1/(1+nx)|$
Adesso per trovare il $text{sup}$ Devo studiare la derivata di $|-1/(1+nx)|$? cioè la derivata di $1/(1+n|x|)$ ovvero derivare $1/(1+nx) text( se ) x>0$ e derivare $1/(1-nx) text( se ) x<-1$ ?
Cioè ogni volta che studio la convergenza uniforme eventualmente per tutto $ RR $ devo sempre trovare il $text{sup}$ considerando il valore assoluto e cioè considerare le derivate per $x>0 text( e ) x<0$?
Secondo dubbio:
Ho una successioni di funzioni da studiare nell'intervallo $[0,1]$, ho trovato che tra $0 text( e ) 1$ c'è un punto di $max$ per semplicità chiamerò $M$, in $(0,M)$ la funzione è crescente , in $(M,1)$ è decrescente.
Mi chiedo, è corretto prendere un valore $K
Terzo dubbio:
Sempre successione di funzione, ho trovato che tra $ -sqrt(n) text( e ) sqrt(n)$ la funzione è crescente, quindi $sqrt(n)$ rappresenta il punto di $max$, ottengo che nell'intervallo $-sqrt(n),sqrt(n)$ la funzione converge uniformemente.
Mi chiedo, cosa accade in $[-sqrt(n), +oo) $ essendo la funzione decrescente in $[sqrt(n), +oo) $ il mio sup sarà rappresentato da $sqrt(n)$ stesso, quindi converge uniformemente anche qui?
Ho questa successione di funzioni:
$f_n(x)=(nx)/(1+nx)$ devo studiarne la convergenza puntuale e uniforme.
Intanto studio il C.E , $x!= -1/nx$ quindi la successione di funzioni dovrò studiarla in questo intervallo: $(- oo,-1)$ $ uu $ $(0,+oo) $
Adesso studio la convergenza puntuale:
$ lim_(n) $ $f_n(x)= 0 text( se ) x= 0$
$ lim_(n) $ $f_n(x)= 1 text( se ) x= 0$
E quella uniforme:
$ lim_(n)$ $text(sup) $ $|(nx)/(1+nx)-1|=lim_(n) text(sup)|-1/(1+nx)|$
Adesso per trovare il $text{sup}$ Devo studiare la derivata di $|-1/(1+nx)|$? cioè la derivata di $1/(1+n|x|)$ ovvero derivare $1/(1+nx) text( se ) x>0$ e derivare $1/(1-nx) text( se ) x<-1$ ?
Cioè ogni volta che studio la convergenza uniforme eventualmente per tutto $ RR $ devo sempre trovare il $text{sup}$ considerando il valore assoluto e cioè considerare le derivate per $x>0 text( e ) x<0$?
Secondo dubbio:
Ho una successioni di funzioni da studiare nell'intervallo $[0,1]$, ho trovato che tra $0 text( e ) 1$ c'è un punto di $max$ per semplicità chiamerò $M$, in $(0,M)$ la funzione è crescente , in $(M,1)$ è decrescente.
Mi chiedo, è corretto prendere un valore $K
Terzo dubbio:
Sempre successione di funzione, ho trovato che tra $ -sqrt(n) text( e ) sqrt(n)$ la funzione è crescente, quindi $sqrt(n)$ rappresenta il punto di $max$, ottengo che nell'intervallo $-sqrt(n),sqrt(n)$ la funzione converge uniformemente.
Mi chiedo, cosa accade in $[-sqrt(n), +oo) $ essendo la funzione decrescente in $[sqrt(n), +oo) $ il mio sup sarà rappresentato da $sqrt(n)$ stesso, quindi converge uniformemente anche qui?
Risposte
Ne approfitto per chiedere una cosa anche io 
Ancora non ho fatto molti esercizi sulla convergenza delle serie di funzioni... Ma se mi trovassi davanti una serie di cui dimostrare la convergenza uniforme, userei il teorema della convergenza totale, che è l'unico che al momento viene in mente. Ora... Vedo che molti in questo forum per provare tale convergenza calcolano:
[tex]\lim_n sup[ f_n(x) - ( \lim_n f_n(x) ) ][/tex]
Solo che non mi è ben chiaro il perchè... Questo limite ha alcune somiglianze con il teorema che ho citato prima, in quello infatti viene considerata un [tex]L_n = sup_x f_n(x)[/tex]... Solo se poi si va a considerare [tex]\sum L_n[/tex]... e se tale serie è convergente allora lo è uniformemente anche quella di partenza.
Suppongo date le somiglianze che si tratti di un corollario, però non riesco a trovare il nesso. Mi date una mano?
Ancora non ho fatto molti esercizi sulla convergenza delle serie di funzioni... Ma se mi trovassi davanti una serie di cui dimostrare la convergenza uniforme, userei il teorema della convergenza totale, che è l'unico che al momento viene in mente. Ora... Vedo che molti in questo forum per provare tale convergenza calcolano:
[tex]\lim_n sup[ f_n(x) - ( \lim_n f_n(x) ) ][/tex]
Solo che non mi è ben chiaro il perchè... Questo limite ha alcune somiglianze con il teorema che ho citato prima, in quello infatti viene considerata un [tex]L_n = sup_x f_n(x)[/tex]... Solo se poi si va a considerare [tex]\sum L_n[/tex]... e se tale serie è convergente allora lo è uniformemente anche quella di partenza.
Suppongo date le somiglianze che si tratti di un corollario, però non riesco a trovare il nesso. Mi date una mano?
@ vinci:
1. Non esiste un solo modo. La successione di funzioni è uniformemente convergente nell'insieme di definizione $D$ se e solo se:
$AAepsilon>0 EEnu in NN: n>=nu =>|f_n (x) -f(x)|<= epsilon$, $AAx in D$
Per la convergenza semplice invece basta che:
$AAx in D$, $AAepsilon>0 EEnu in NN: n>=nu =>|f_n (x) -f(x)|<= epsilon$
La differenza è che per verificare la convergenza puntuale fissi prima la $x$ e poi ti riduci a studiare di fatto una successione numerica al variare di $n$. Per la convergenza uniforme è richiesto di trovare un $epsilon$ che soddisfi quella relazione lì, che vada bene per qualsiasi $x in D$. Un modo spesso comodo è quindi quello di cercare il valore di $x$ per il quale la discrepanza $|f_n (x) -f(x)|$ è massima, di modo che se si trova un $epsilon$ maggiore di questa, allora la relazione è soddisfatta per tutti gli $x$.
Seconda cosa, non sono d'accordo col dominio che hai scritto.
2. Non ha senso parlare di convergenza uniforme in un punto. Ha senso parlare di converegenza uniforme in certi insiemi. Riguardo le altre domande ti consiglio di riflettere bene sulle definizioni, guardando quello che ho scritto, ma soprattuto il tuo libro. Se poi restano dubbi riproponili.
1. Non esiste un solo modo. La successione di funzioni è uniformemente convergente nell'insieme di definizione $D$ se e solo se:
$AAepsilon>0 EEnu in NN: n>=nu =>|f_n (x) -f(x)|<= epsilon$, $AAx in D$
Per la convergenza semplice invece basta che:
$AAx in D$, $AAepsilon>0 EEnu in NN: n>=nu =>|f_n (x) -f(x)|<= epsilon$
La differenza è che per verificare la convergenza puntuale fissi prima la $x$ e poi ti riduci a studiare di fatto una successione numerica al variare di $n$. Per la convergenza uniforme è richiesto di trovare un $epsilon$ che soddisfi quella relazione lì, che vada bene per qualsiasi $x in D$. Un modo spesso comodo è quindi quello di cercare il valore di $x$ per il quale la discrepanza $|f_n (x) -f(x)|$ è massima, di modo che se si trova un $epsilon$ maggiore di questa, allora la relazione è soddisfatta per tutti gli $x$.
Seconda cosa, non sono d'accordo col dominio che hai scritto.
2. Non ha senso parlare di convergenza uniforme in un punto. Ha senso parlare di converegenza uniforme in certi insiemi. Riguardo le altre domande ti consiglio di riflettere bene sulle definizioni, guardando quello che ho scritto, ma soprattuto il tuo libro. Se poi restano dubbi riproponili.
@pater46:
Come detto su, riscritto poco diversamente si ha che per la convergenza uniforme:
$|f_n (x) -lim_{n} f_n (x)|
Il teorema di totale convergenza per le serie segue da queste osservazioni, con qualche passaggio in più, non viceversa. Potresti provare a ricavarlo, ricordando che la definizione di serie è successione delle somme parziali di un'altra successione.
Come detto su, riscritto poco diversamente si ha che per la convergenza uniforme:
$|f_n (x) -lim_{n} f_n (x)|
Il teorema di totale convergenza per le serie segue da queste osservazioni, con qualche passaggio in più, non viceversa. Potresti provare a ricavarlo, ricordando che la definizione di serie è successione delle somme parziali di un'altra successione.
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