Dubbi sul teorema ponte e sugli utilizzi
Salve ragazzi, vi chiedo scusa in anticipo se la domanda è un po' sciatta e confusionaria. Spero si capisca.
Non mi è chiaro un passaggio nella dimostrazione del teorema ponte e nelle sue applicazioni (credo sia strettamente correlato).
Il teorema ponte afferma che:
Sia $A\inR$. sia $f:A->R$ una funzione di A in R. Sia $x_0 \in Dr(A)$. Sia $l \in bar(R)$. Vale la seguente equivalenza:
$ \exists lim_(x->x_0) f(x) = l hArr $ per ogni successione di elementi di $A-{x_0} t.c. lim_(n->+oo) a_n =x_0$ risulta che: $\exists lim_(n->+oo) f(a_n) = l$
Per dimostrare l'implicazione da destra si ragiona per assurdo. Si nega la definizione di limite, si costruisce una successione di intorni i quali conterranno sempre almeno un certo $x_n$ e per il teorema della convergenza obbligata per successioni si conclude che $lim_(n->+oo) x_n =x_0$ e poiché $x_n$ è una successione di elementi di A allora per ipotesi si ha che $\exists lim_(n->+oo) f(x_n) = l$ da cui $f(x_n) \in V$ definitivamente da cui la contraddizione.
Non mi è chiaro a questo punto cosa sia $f(x_n)$. Viene trattato come se fosse una successione ma perché?
Poi praticamente tutti i teoremi che ci sono dopo vengono dimostrati sfruttando il teorema ponte e i relativi teoremi legati alle successioni.
Ad esempio nella dimostrazione del teorema della permanenza del segno per funzioni.
Al solito nega la tesi, costruisce una successione, applica il teorema ponte e afferma che $\exists lim_(n->+oo) f(a_n) = l$ poi dice che per il teorema della permanenza del segno per successioni risulta che $f(a_n)>0 $ definitivamente.
Però il teorema della permanenza del segno per successioni afferma che se $l>0$ allora $a_n>0 $ definitivamente. Perché anche $f(a_n)$?
Mi sfugge davvero che cosa sia $f(a_n)$. Perché non è una funzione? Perché si utilizza il termine "definitivamente" che è proprio delle successioni o comunque strettamente legato ai numeri naturali?
Vi ringrazio anticipatamente,
Non mi è chiaro un passaggio nella dimostrazione del teorema ponte e nelle sue applicazioni (credo sia strettamente correlato).
Il teorema ponte afferma che:
Sia $A\inR$. sia $f:A->R$ una funzione di A in R. Sia $x_0 \in Dr(A)$. Sia $l \in bar(R)$. Vale la seguente equivalenza:
$ \exists lim_(x->x_0) f(x) = l hArr $ per ogni successione di elementi di $A-{x_0} t.c. lim_(n->+oo) a_n =x_0$ risulta che: $\exists lim_(n->+oo) f(a_n) = l$
Per dimostrare l'implicazione da destra si ragiona per assurdo. Si nega la definizione di limite, si costruisce una successione di intorni i quali conterranno sempre almeno un certo $x_n$ e per il teorema della convergenza obbligata per successioni si conclude che $lim_(n->+oo) x_n =x_0$ e poiché $x_n$ è una successione di elementi di A allora per ipotesi si ha che $\exists lim_(n->+oo) f(x_n) = l$ da cui $f(x_n) \in V$ definitivamente da cui la contraddizione.
Non mi è chiaro a questo punto cosa sia $f(x_n)$. Viene trattato come se fosse una successione ma perché?
Poi praticamente tutti i teoremi che ci sono dopo vengono dimostrati sfruttando il teorema ponte e i relativi teoremi legati alle successioni.
Ad esempio nella dimostrazione del teorema della permanenza del segno per funzioni.
Al solito nega la tesi, costruisce una successione, applica il teorema ponte e afferma che $\exists lim_(n->+oo) f(a_n) = l$ poi dice che per il teorema della permanenza del segno per successioni risulta che $f(a_n)>0 $ definitivamente.
Però il teorema della permanenza del segno per successioni afferma che se $l>0$ allora $a_n>0 $ definitivamente. Perché anche $f(a_n)$?
Mi sfugge davvero che cosa sia $f(a_n)$. Perché non è una funzione? Perché si utilizza il termine "definitivamente" che è proprio delle successioni o comunque strettamente legato ai numeri naturali?
Vi ringrazio anticipatamente,
Risposte
Il numero $f(x_n)$ è il valore preso dalla funzione $f$ nel punto $x_n$.
La $(f(x_n))$ è una successione... Sai spiegare perché?
Qual è la definizione di successione?
La $(f(x_n))$ è una successione... Sai spiegare perché?
Qual è la definizione di successione?
"gugo82":
Il numero $f(x_n)$ è il valore preso dalla funzione $f$ nel punto $x_n$.
La $(f(x_n))$ è una successione... Sai spiegare perché?
Qual è la definizione di successione?
Si chiama successione di numeri reali ogni funzione $f:N->R$ e se l'insieme della funzione $f$ è contenuta in un insieme $A\subsetR$ si dirà che $f$ è una successione di elementi di A.
Quindi $x_n$ non rappresenta l'immagine di $n$ tramite $f$? Di solito quando tratto le successioni $(a_n)_(n\inN)$ è il modo in cui si denota la successione e $a_n$ è il valore dell'immagine. E' solo un modo per dire che quel punto appartiene a $N$ ?
Hai in testa una confusione immane...
Di solito, per chiarirsi la situazione basta farsi un esempio minimo.
Prendi $x_n := 1/n$ ed $f(x) = arctan(1/x)$ e calcola $f(x_n)$: cosa viene fuori?
Riesci a riconoscere che $f(x_n)$ è il termine generale di una successione?
Sai spiegare il motivo?
Di solito, per chiarirsi la situazione basta farsi un esempio minimo.
Prendi $x_n := 1/n$ ed $f(x) = arctan(1/x)$ e calcola $f(x_n)$: cosa viene fuori?
Riesci a riconoscere che $f(x_n)$ è il termine generale di una successione?
Sai spiegare il motivo?
"gugo82":
Hai in testa una confusione immane...
Di solito, per chiarirsi la situazione basta farsi un esempio minimo.
Prendi $x_n := 1/n$ ed $f(x) = arctan(1/x)$ e calcola $f(x_n)$: cosa viene fuori?
$f(x_n)=arctan(1/(1/n))=arctan(n)$
"gugo82":
Riesci a riconoscere che $f(x_n)$ è il termine generale di una successione?
Sai spiegare il motivo?
Ora vedo la successione. Però non so se ho capito il motivo. E' una funzione composta?
"paolo1712":
E' una funzione composta?
Sì. Ricorda che $x_n$ è una notazione che significa $x(n)$ (funzione $x$ valutata nel naturale $n$).
"Mephlip":
[quote="paolo1712"]E' una funzione composta?
Sì. Ricorda che $x_n$ è una notazione che significa $x(n)$ (funzione $x$ valutata nel naturale $n$).[/quote]
Grazie Mephlip. Hai già detto tutto.
"Mephlip":
[quote="paolo1712"]E' una funzione composta?
Sì. Ricorda che $x_n$ è una notazione che significa $x(n)$ (funzione $x$ valutata nel naturale $n$).[/quote]
ah ecco...
Vi ringrazio, gentili come sempre.
Prego ad entrambi 
per così poco. 
per così poco.
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