Dubbi sul prodotto esterno

[mklplo751]

Salve,qualcuno mi spiegherebbe,per favore,che cos'è il prodotto esterno?
anche perchè non ho capito la differenza di scrivere:
$ omega(x;y;z)= f(x;y;z)dxdy+g(x;y;z)dzdx+h(x;y;z)dzdy $
dal scrivere:
$ omega(x;y;z)= f(x;y;z)dx^^dy+g(x;y;z)dz^^dx+h(x;y;z)dz^^dy $

[dissonance]

La prima scrittura è impropria anche se si usa moltissimo ed è comoda. In geometria si dovrebbe distinguere tra il prodotto $\otimes$ e il prodotto esterno $\wedge$. Nella pratica, il prodotto compare nelle formule con i tensori metrici:
\[
g= \sum_{i=1}^n dx^i\otimes dx^i, \]
per esempio, che descrive il tensore metrico di \(\mathbb R^n\) in coordinate cartesiane. Spesso uno scrive \(g=\sum_{i=1}^n (dx^i)^2\), per sbrigarsi prima.

Il prodotto esterno invece è il prodotto che compare negli integrali multipli, *con segno* (attenzione - questa cosa fa confondere, io non è che la abbia capito appieno ma mi sono adeguato). Quindi, per esempio, un geometra scriverebbe
\[
\iint_{\mathbb R^2} f(x, y)\, dx\wedge dy\]
invece di \(\iint f(x, y)\, dxdy\).

In pratica la differenza tra i due prodotti è questa: da una parte, \(dx\otimes dy\ne dy\otimes dx\), dall'altra parte \(dx\wedge dy =-dy\wedge dx\).

Si tratta di farci un po' l'occhio, sono cose che fanno confondere molto ma in ultima analisi sono solo notazioni più o meno comode, dietro non ci sono idee profonde.

[mklplo751]

grazie