Dubbi sul gradiente in un punto di una funzione di due variabili

[gianvitodif]

Ciao a tutti, sono un nuovo iscritto Sto preparando l'esame di analisi II e mi sono imbattuto in questa funzione:
$ f(x,y) = root(3)(x^2(y-1)) + 1 $

di cui si chiede se è differenziabile in $ (0,1) $ ed in questo punto calcolare la derivata direzionale per ogni direzione di $ R^2 $.
Ovviamente ho calcolato le derivate parziali che valgono:

$ f_x(x,y)= (2x(y-1))/(3root(3)(x^4(y-1)^2)) = 2/3 root(3) ((y-1)/x) $
$ f_y(x,y)= (x^2)/(3root(3)(x^4(y-1)^2)) = 1/3 root(3) (x^2/(y-1)^2) $

Quindi il gradiente non è definito proprio in $ (0,1) $, ho provato, solo per la derivata rispetto a x, che non ammette limite in quel punto (ho calcolato $ f_x $ lungo le rette $ (t,t+1)$, $ (-t,t+1) $). Dunque ho concluso che non è differenziabile in $ (0,1) $. Per calcolare la derivata direzionale lungo la generica direzione $ (cos(vartheta), sin(vartheta)) $ ho calcolato

$ [lim_(h -> 0) (f(x+h cos(vartheta), y+h sin(vartheta)) - f(x,y))/h]_((x,y)=(0,1) $

cioè

$ lim_(h -> 0) (root(3) (h^2 cos^2(vartheta)hsin(vartheta)))/h = root(3) (cos^2(vartheta)sin(vartheta) $

che definisce quindi il gradiente anche dove prima non era definito (per $ vartheta = 0 $ e $ vartheta = pi/2 $)? Sbaglio concettualmente o ho commesso errori di calcolo?
Per la cronaca sostituendo i valori del "nuovo" gradiente nel limite che definisce la differenziabilità, esso non esiste.

Spero di non aver violato il regolamento Grazie in anticipo ed un saluto a tutti!

[Emar1]

Su quesiti di questo genere la strada migliore è sempre quella di usare la definizione di differenziabilità, ovvero si calcola il limite:
\[\lim_{\mathbf{h} \to 0} \frac{|f(\mathbf{x} + \mathbf{h}) - f(\mathbf{x})|}{\|\mathbf{h}\|_2} = \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{|f(x + h,y + k) - f(x,y)|}{\sqrt{h^2 + k^2}}\]
Se il limite esiste e risulta finito la funzione è differenziabile nel punto $(x,y)$.

Alternativamente si può procedere calcolando le derivate parziali e, se esse esistono e sono continue nel punto, allora un teorema assicura la differenziabilità nel punto. Nel caso esistano ma non sono continue bisogna ricorrere al calcolo del limite sopra.

Attenzione però, le derivate parziali vanno calcolate con la definizione, ovvero come limite dei rapporti incrementali parziali.
Come hai notato tu stesso infatti, usare le regole di calcolo classiche può portare a conclusioni errate. Le derivate direzionali, come hai verificato calcolando il limite, esistono nel punto $(0,1)$ per ogni valore di \(\vartheta\).
Nello specifico le derivate parziali ( con \( \vartheta = \pi/2,0\)) esistono in $(0,1)$ e valgono $0$.

Operativamente è ok usare le regole di calcolo a patto che nei punti "sospetti" si verifichi con il rapporto incrementale e si corregga, eventualmente la funzione. Le derivate parziali dovrebbero essere:
\[D_xf: \mathbb{R}^2 \setminus \{x=0,y\not = 1\} \to \mathbb{R}, \ \ (x,y) \mapsto \begin{cases} \frac{2}{3}\left(\frac{y-1}{x}\right)^{\frac{1}{3}} & x \not = 0 \\ 0 & (x,y) = (0,1)\end{cases}\]
\[D_yf: \mathbb{R}^2 \setminus \{x\not=0,y = 1\} \to \mathbb{R}, \ \ (x,y) \mapsto \begin{cases} \frac{1}{3}\left(\frac{x}{y-1}\right)^{\frac{2}{3}} & y \not = 1 \\ 0 & (x,y) = (0,1)\end{cases}\]

Cioè, tra i punti "sospetti", esistono solo nel punto $(0,1)$ e valgono $0$. Non essendo ivi continue, è necessario verificare la differenziabilità con la definizione (il limite in alto). Dato che il gradiente esiste nel punto $(0,1)$ ci aspettiamo che il limite, se esiste, valga $0$.

Secondo i miei calcoli dovrebbe risultare $0$, e quindi la funzione dovrebbe essere differenziabile in $(0,1)$. Prova tu!