Dubbi sul comportamento degli o piccoli nei limiti
Salve! Avrei alcuni dubbi su come gli o piccoli si comportano in alcuni limiti particolari. In merito a tale situazione posterò alcuni esercizi per discuterne con voi la soluzione 
Comincio da questo:
\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{o(x)}{x^2} \)
Pensavo che \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{o(x)}{x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{h}{x^2} \) con \(\displaystyle h \in o(x) \), quindi \(\displaystyle h=x^\alpha \) con \(\displaystyle \alpha \geq 2 \).. Da qui \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^\alpha}{x^2}=0 \) se \(\displaystyle \alpha>2 \) oppure \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^\alpha}{x^2}=1 \) se \(\displaystyle \alpha=2 \).... C'è qualcosa che non quadra.... :-/
Credo che la soluzione sia diversa.. Ma non saprei come trattare un limite in quella forma....
Comincio da questo:
\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{o(x)}{x^2} \)
Pensavo che \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{o(x)}{x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{h}{x^2} \) con \(\displaystyle h \in o(x) \), quindi \(\displaystyle h=x^\alpha \) con \(\displaystyle \alpha \geq 2 \).. Da qui \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^\alpha}{x^2}=0 \) se \(\displaystyle \alpha>2 \) oppure \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^\alpha}{x^2}=1 \) se \(\displaystyle \alpha=2 \).... C'è qualcosa che non quadra.... :-/
Credo che la soluzione sia diversa.. Ma non saprei come trattare un limite in quella forma....
Risposte
Potrei benissimo sbagliarmi, ma mi sembra che l'informazione data dall'o-piccolo a numeratore non sia sufficiente per calcolare quel limite.
Interessante!! Mi fa pensare al fatto che davo per scontato la possibilità di calcolare qualunque limite con gli o piccoli, forse sbagliando.... D'altra parte si potrebbe anche vedere che \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{o(x)}{x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\varphi x}{x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\varphi}{x} \) con \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \varphi=0 \).... Non so quanto possa servire....
"Zuzzerello":
Pensavo che \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{o(x)}{x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{h}{x^2} \) con \(\displaystyle h \in o(x) \), quindi \(\displaystyle h=x^\alpha \) con \(\displaystyle \alpha \geq 2 \)
Col simbolo $o(x^n)$ si denota un infinitesimo* $\epsilon(x)$ tale che il rapporto $frac{\epsilon(x)}{x^n}$ sia a sua volta infinitesimo (in $\bar{x}=0$ eh!).
Da questo deduci che non ti è possibile calcolare il limite
\[\lim_{x\to 0}\dfrac{o(x)}{x^2}\]
se non hai altre informazioni.
Insomma, un o-piccolo di $x$ può essere $x^{50}$ (nel qual caso il limite in questione è $0$), può essere $x^2$ (e il limite vale $1$) o può anche essere $x^{1.1}$ (il limite è infinito).
________________________
*un qualsiasi infinitesimo che possieda questa proprietà; non necessariamente deve trattarsi di una potenza positiva di $x$.
Fantastico! Grazie mille! Ho chiarito anche gli altri dubbi.. In caso di altri problemi, posto sempre in questa discussione! 
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