Dubbi sul capitolo delle derivate.
Ciao a tutti.
Mi son buttato a capofitto nella ripetizione delle derivate.
Prima cosa ho ripetuto tutte le 'formule di derivazione'
Ora, seguendo passo dopo passo, gli argomenti del programma, mi faccio le domande che credo possano essermi fatte.
Vorrei che ci dacesse una occhiata 'veloce' se si può
1) Che cosa è una derivata?
La derivata è il limite, se esiste, del rapporto incrementale.
$f'(x)=lim_(h->0)$ $delta(x)/delta(y)=(f(x+h)-f(x))/(x+h-x)=(f(x+h)-f(x))/(h)$
Se c'è derivata finita in $x_0$, si può dire che la funzione è derivabile in quel punto.
2)Derivata destra e sinistra di una funzione.
Data una funzione $f(x)$ si dice
derivata destra: $f'_(+)(x)$ per $h->0^(+)$
derivata sinistra: $f'_(-)(x)$ per $h->0^(-)$
3)Regola della continuità di una funzione derivabile.
Una funzione derivabile è continua, ma non vale il contrario.
4)Parlare delle derivate successive.
La derivata prima ci da informazione sui punti critici (massimo, minimo) se $f'(x)=0$, mentre ci da informazioni sulla crescenza e
decrescenza della funzione se $f'(x)>0$
La derivata seconda, è importante per lo studio di funzione, in particolare $f''(x)=0$ è usata per trovare i punti di flesso, mentre
$f''(x)>0$ serve per calcolare la concavità della funzione $f''(x)<0$ concavità verso il basso.
La derivata $y'''$ è la derivata terza o del terzo ordine, la derivata di ordine $n$ si scrive come $f^(n)(x)$.
(su questo argomento non ho altro da aggiungere, probabilmente avrò dimenticato qualcosa).
Spero possiate aggiungere vostre considerazioni.
Grazie.
Mi son buttato a capofitto nella ripetizione delle derivate.
Prima cosa ho ripetuto tutte le 'formule di derivazione'
Ora, seguendo passo dopo passo, gli argomenti del programma, mi faccio le domande che credo possano essermi fatte.
Vorrei che ci dacesse una occhiata 'veloce' se si può
1) Che cosa è una derivata?
La derivata è il limite, se esiste, del rapporto incrementale.
$f'(x)=lim_(h->0)$ $delta(x)/delta(y)=(f(x+h)-f(x))/(x+h-x)=(f(x+h)-f(x))/(h)$
Se c'è derivata finita in $x_0$, si può dire che la funzione è derivabile in quel punto.
2)Derivata destra e sinistra di una funzione.
Data una funzione $f(x)$ si dice
derivata destra: $f'_(+)(x)$ per $h->0^(+)$
derivata sinistra: $f'_(-)(x)$ per $h->0^(-)$
3)Regola della continuità di una funzione derivabile.
Una funzione derivabile è continua, ma non vale il contrario.
4)Parlare delle derivate successive.
La derivata prima ci da informazione sui punti critici (massimo, minimo) se $f'(x)=0$, mentre ci da informazioni sulla crescenza e
decrescenza della funzione se $f'(x)>0$
La derivata seconda, è importante per lo studio di funzione, in particolare $f''(x)=0$ è usata per trovare i punti di flesso, mentre
$f''(x)>0$ serve per calcolare la concavità della funzione $f''(x)<0$ concavità verso il basso.
La derivata $y'''$ è la derivata terza o del terzo ordine, la derivata di ordine $n$ si scrive come $f^(n)(x)$.
(su questo argomento non ho altro da aggiungere, probabilmente avrò dimenticato qualcosa).
Spero possiate aggiungere vostre considerazioni.
Grazie.
Risposte
Non è che ci sia molto da dire.
Hai detto delle cose giuste (anche se un po' basilari).
Non so che tipo di scuola tu faccia e quindi non so dirti se questo ti basta.
Comunque ciò che hai detto è giusto, anche se sulle derivate si può dire ancora molto...
Hai detto delle cose giuste (anche se un po' basilari).
Non so che tipo di scuola tu faccia e quindi non so dirti se questo ti basta.
Comunque ciò che hai detto è giusto, anche se sulle derivate si può dire ancora molto...
Sto preparando analisi 1 per Fisica.
Lo so che sono un pò basilari, ma ho scritto tutto di getto 'senza prendere il libro' altrimenti non vale.
Se hai da aggiungere qualcosa su quello che ho detto, qualunque cosa, potresti suggerirmela?
Una cosa, cosa si intende per 'regole di derivazione'? Si riferisce a tutte le regole che io applico negli esercizi giusto?
Perchè l'argomento dopo dice 'derivate delle funzioni elementari' (che io intendo per $sin(x)$, $cos(x)$, $tg(x)$, o anche $log(x)$
Quindi qual'è la differenza tra ''regole di derivazione'' e 'derivate delle funzioni elementari'?
Grazie.
Lo so che sono un pò basilari, ma ho scritto tutto di getto 'senza prendere il libro' altrimenti non vale.
Se hai da aggiungere qualcosa su quello che ho detto, qualunque cosa, potresti suggerirmela?
Una cosa, cosa si intende per 'regole di derivazione'? Si riferisce a tutte le regole che io applico negli esercizi giusto?
Perchè l'argomento dopo dice 'derivate delle funzioni elementari' (che io intendo per $sin(x)$, $cos(x)$, $tg(x)$, o anche $log(x)$
Quindi qual'è la differenza tra ''regole di derivazione'' e 'derivate delle funzioni elementari'?
Grazie.
"clever":
Sto preparando analisi 1 per Fisica.
Lo so che sono un pò basilari, ma ho scritto tutto di getto 'senza prendere il libro' altrimenti non vale.
Se hai da aggiungere qualcosa su quello che ho detto, qualunque cosa, potresti suggerirmela?
Una cosa, cosa si intende per 'regole di derivazione'? Si riferisce a tutte le regole che io applico negli esercizi giusto?
Perchè l'argomento dopo dice 'derivate delle funzioni elementari' (che io intendo per $sin(x)$, $cos(x)$, $tg(x)$, o anche $log(x)$
Quindi qual'è la differenza tra ''regole di derivazione'' e 'derivate delle funzioni elementari'?
Grazie.
Beh, se stai dividendo proprio per compartimenti stagni (derivata, derivate di funzioni elementari, formule di derivazione...) allora ok (altrimenti erano proprio nozioni base).
Potrei aggiungere molto se fosse così.
Ad esempio:
derivata di un prodotto
derivata di funzione composta
formula di taylor
eccetera eccetera
Buono studio
Ah! Ok.
Allora ti dico, preso il foglio con 'gli argomenti' dell'interrogazione orale, semplicemente sto vedendo argomento per argomento.
infatti, entro stasera arriverò anche alla formula di Taylor, derivata del prodotto, tutto ciò che c'è da dire.
Semplicemente io facevo un discorso 'di tempo', in 5 minuti dovrei dire minimo quei 4 argomenti che io ho cercato di 'riassumere'
in modo semplice e 'capibile' anche per un ragazzo di scuola media, mettiamola così.
(Forse off-topic, vorrei continuare a scrivere qui miei dubbi sul capitolo 'derivate', senza aprire troppi topic per il forum, dammi conferma se posso farlo).
Allora ti dico, preso il foglio con 'gli argomenti' dell'interrogazione orale, semplicemente sto vedendo argomento per argomento.
infatti, entro stasera arriverò anche alla formula di Taylor, derivata del prodotto, tutto ciò che c'è da dire.
Semplicemente io facevo un discorso 'di tempo', in 5 minuti dovrei dire minimo quei 4 argomenti che io ho cercato di 'riassumere'
in modo semplice e 'capibile' anche per un ragazzo di scuola media, mettiamola così.
(Forse off-topic, vorrei continuare a scrivere qui miei dubbi sul capitolo 'derivate', senza aprire troppi topic per il forum, dammi conferma se posso farlo).
Ehy anche io oggi ho finito di ripassare le derivate per Analisi 1 in ingegneria informatica XD Allora, si misanino ha ragione cmq hai detto le cose principali bene quindi hai le idee chiare. Una derivata sappiamo tutti quelli che facciamo fisica o matematica che cosa è e che serve a molte cose. Ci sono mote altre cose da dire per esempio
1)che se la derivata destra e sinistra in $x_0$ sono diverse la der. non esiste e questo deriva dal discorso del limite.
2) Ti potrebbbero chiedere se è vero che se f è continua in $x_0$ allora è derivabile in $x_0$ e questo è falso in generale es. val.assoluto.
3)Ti possono chiedere, anzi ti chiedereanno sicuramente del differenziale perchè in fisica si usa moltissimo e serve anche negli integrali.
4)I punti di non derivabilità quali sono.
5) Tutte le operazioni con le derivate compresa der. composta e inversa e derivata di per es. $f(x)^g(x)$
Poi diciamoci che la parte vera delle derivate è lo studio di funzioni derivabili in un intervallo quindi tutti i teoremi
Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy e De L'Hopital e c'è anche la proprietà di Darboux dei valori intermedi che si applica alle derivate. E devi sapere naturalmente dimostrare i teoremi principali.
Per il resto è tutto. Secondo me le derivate sono la parte più facile dell'analisi 1 e quelle con più campi di praticità che ne pensate?
1)che se la derivata destra e sinistra in $x_0$ sono diverse la der. non esiste e questo deriva dal discorso del limite.
2) Ti potrebbbero chiedere se è vero che se f è continua in $x_0$ allora è derivabile in $x_0$ e questo è falso in generale es. val.assoluto.
3)Ti possono chiedere, anzi ti chiedereanno sicuramente del differenziale perchè in fisica si usa moltissimo e serve anche negli integrali.
4)I punti di non derivabilità quali sono.
5) Tutte le operazioni con le derivate compresa der. composta e inversa e derivata di per es. $f(x)^g(x)$
Poi diciamoci che la parte vera delle derivate è lo studio di funzioni derivabili in un intervallo quindi tutti i teoremi
Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy e De L'Hopital e c'è anche la proprietà di Darboux dei valori intermedi che si applica alle derivate. E devi sapere naturalmente dimostrare i teoremi principali.
Per il resto è tutto. Secondo me le derivate sono la parte più facile dell'analisi 1 e quelle con più campi di praticità che ne pensate?
Infatti per il punto 2)
Io risponderei che 'la continuità di una $f(x)$ in un punto $x_0$ è condizione necessaria, ma non sufficiente per la sua derivabilità.
4) In maniera sintetica sono:
-punto di flesso a tangente verticale
-cuspide
-punto angoloso (caso particolare di cuspide)
5) ad esempio da ripetere sono i teoremi sul calcolo delle derivate
quindi tipo $y=f(x)+g(x)$ $y'=f'(x)+g'(x)$
ricordare anche che una costante additiva, nella derivazione si annulla tipo $y=f(x)+K$ $y'=f'(x)$
La derivata in fisica si trova dappertutto, un esempio, il più banale è nella cinematica.
la velocità è la derivata dello spazio percorso in un $deltaT$
Oppure un altro esempio è l'intensità di corrente.
(Si, il capitolo sulle derivate - 55\60 pagine in tutto - si possono fare in una giornata)
Io risponderei che 'la continuità di una $f(x)$ in un punto $x_0$ è condizione necessaria, ma non sufficiente per la sua derivabilità.
4) In maniera sintetica sono:
-punto di flesso a tangente verticale
-cuspide
-punto angoloso (caso particolare di cuspide)
5) ad esempio da ripetere sono i teoremi sul calcolo delle derivate
quindi tipo $y=f(x)+g(x)$ $y'=f'(x)+g'(x)$
ricordare anche che una costante additiva, nella derivazione si annulla tipo $y=f(x)+K$ $y'=f'(x)$
La derivata in fisica si trova dappertutto, un esempio, il più banale è nella cinematica.
la velocità è la derivata dello spazio percorso in un $deltaT$
Oppure un altro esempio è l'intensità di corrente.
(Si, il capitolo sulle derivate - 55\60 pagine in tutto - si possono fare in una giornata)
Sto ripetendo il teorema di Lagrange, e non 'ricordo' bene come il professore abbia dimostrato ciò.
Riporto gli appunti dal quaderno, sperando che siano più chiari a voi che a me.
da dimostrare: $f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)$
se è derivabile è continua:
$g(x)=f(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))(x-a)$ (questo primo passaggio, non riesco proprio a capirlo....)
per il teorema di rolle: $g(a)=g(b)$
$g(a)=f(a)$
$g(b)=f(b)-f(b)+f(a)$
$g(b)=f(a)$
posso dire che esiste un punto $c$ interno ad $(a,b)$ tale che $g'(x)=0$
$sigma=g'(x)=f'(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))$
non riesco a capire il ragionamento che abbia fatto.
oltretutto su un altro libro che ho preso in biblioteca, ho trovato un altra dimostrazione, spiegata diversamente.
Cosa mi proponete?
Riporto gli appunti dal quaderno, sperando che siano più chiari a voi che a me.
da dimostrare: $f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)$
se è derivabile è continua:
$g(x)=f(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))(x-a)$ (questo primo passaggio, non riesco proprio a capirlo....)
per il teorema di rolle: $g(a)=g(b)$
$g(a)=f(a)$
$g(b)=f(b)-f(b)+f(a)$
$g(b)=f(a)$
posso dire che esiste un punto $c$ interno ad $(a,b)$ tale che $g'(x)=0$
$sigma=g'(x)=f'(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))$
non riesco a capire il ragionamento che abbia fatto.
oltretutto su un altro libro che ho preso in biblioteca, ho trovato un altra dimostrazione, spiegata diversamente.
Cosa mi proponete?
da dimostrare: $f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)$
Prendi la funzione
$g(x) = f(x) - f(a) - frac{f(b) - f(a)}{b - a} * (x - a) $
è continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$. Inoltre $g(a) = g(b) = 0.$
Quindi per il teorema di Rolle esisterà un punto $c in [a,b] t.c. g^{\prime}(c) = 0 $
da cui:
$f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)$
Prendi la funzione
$g(x) = f(x) - f(a) - frac{f(b) - f(a)}{b - a} * (x - a) $
è continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$. Inoltre $g(a) = g(b) = 0.$
Quindi per il teorema di Rolle esisterà un punto $c in [a,b] t.c. g^{\prime}(c) = 0 $
da cui:
$f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)$
Grazie per la visione qwerty90.
Io posto l'altra dimostrazione, a cui mi sento più sicuro.
$sigma(x)=f(x)-K*x$
per il teorema di rolle: $sigma(a)=sigma(b)
bisogna trovare $K$ che è una costante.
$sigma(a)=f(a)-ka$
$sigma(b)=f(b)-kb$
$f(a)-ka=f(b)-kb$
$kb-ka=f(b)-f(a)$
$k(b-a)=f(b)-f(a)$
$k=(f(b)-f(a))/(b-a)$
si mette a posto della relazione iniziale e viene:
$sigma(x)=f(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))*x$
$sigma'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)$
$x=c$
$sigma'(c)=0$
$0=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)$
$f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)$
credo che forse sia più laboriosa.
Io posto l'altra dimostrazione, a cui mi sento più sicuro.
$sigma(x)=f(x)-K*x$
per il teorema di rolle: $sigma(a)=sigma(b)
bisogna trovare $K$ che è una costante.
$sigma(a)=f(a)-ka$
$sigma(b)=f(b)-kb$
$f(a)-ka=f(b)-kb$
$kb-ka=f(b)-f(a)$
$k(b-a)=f(b)-f(a)$
$k=(f(b)-f(a))/(b-a)$
si mette a posto della relazione iniziale e viene:
$sigma(x)=f(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))*x$
$sigma'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)$
$x=c$
$sigma'(c)=0$
$0=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)$
$f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)$
credo che forse sia più laboriosa.
Domanda che mi è venuta, a cui non riesco a rispondere.
Qual è la condizione sufficiente per l'esistenza di masimi e minimi relativi?
Qual è la condizione sufficiente per l'esistenza di masimi e minimi relativi?
"clever":
Domanda che mi è venuta, a cui non riesco a rispondere.
Qual è la condizione sufficiente per l'esistenza di masimi e minimi relativi?
Il teorema di weierstrass non ti dice nulla?
Sisi il teorema di Weierstrass per i massimi e minimi assoluti che sono anche relativi ma non viceversa e quello di Fermat per i max e min relativi o meglio per i punti critici perchè non è detto che se $ f'(x_0)=0$ allora il punto è sicuramente di max o min relatvo.
Ehy scusa Clever che libro di matematica usi? Tu hai detto che il capitolo sulle derivate è 55/60 pag., io ho controllato nel mio libro e sono solamente 24 pag. con max 3 pag di esercizi sarà per questo che per molte cose il mio libro fa confondere moltissimo.......
Ehy scusa Clever che libro di matematica usi? Tu hai detto che il capitolo sulle derivate è 55/60 pag., io ho controllato nel mio libro e sono solamente 24 pag. con max 3 pag di esercizi
sarà per questo che per molte cose il mio libro fa confondere moltissimo.......
Vi riporto 'pari pari' appunti del mio professore.
Forse possono servire anche a qualcuno.
$f$ di classe $C^oo$ in $I$ intorno di $x_0$
(prima domanda: cosa si intende per classe $C^oo$?)
$f'(x_0)=f''(x_0)=...=f^(n-1)(x_0)$
$1$. se $n$ è pari
$f^n(x_0)>0$ allora $x_0$ è punto di minimo relativo per la $f$
$2$ se $n$ è pari:
$f^n(x_0)<0$ è punto di massimo relativo per la $f$
$3$ se $n$ è dispari:
$x_0$ non è punto di minimo nè di massimo per la $f$
Forse possono servire anche a qualcuno.
$f$ di classe $C^oo$ in $I$ intorno di $x_0$
(prima domanda: cosa si intende per classe $C^oo$?)
$f'(x_0)=f''(x_0)=...=f^(n-1)(x_0)$
$1$. se $n$ è pari
$f^n(x_0)>0$ allora $x_0$ è punto di minimo relativo per la $f$
$2$ se $n$ è pari:
$f^n(x_0)<0$ è punto di massimo relativo per la $f$
$3$ se $n$ è dispari:
$x_0$ non è punto di minimo nè di massimo per la $f$
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