Dubbi sul capitolo dei numeri reali.

[indovina]

Apro un altro topic, come quello delle derivate, ma sui numeri reali.

Sul programma sono riportati gli argomenti, e tra quelli che leggo ci sono anche:

Proprietà di completezza

Punti di accumulazione per un insieme.

Insiemi infiniti.

Io vorrei tentare a 'riassumerli', a dire le cose essenziali, ma non riesco a prendere spunto da nulla.

Qualche suggerimento veloce?

Grazie.

[Relegal]

"clever":Apro un altro topic, come quello delle derivate, ma sui numeri reali.

Sul programma sono riportati gli argomenti, e tra quelli che leggo ci sono anche:

Proprietà di completezza

Punti di accumulazione per un insieme.

Insiemi infiniti.

Io vorrei tentare a 'riassumerli', a dire le cose essenziali, ma non riesco a prendere spunto da nulla.

Qualche suggerimento veloce?

Grazie.

La prima cosa che mi viene in mente, almeno per i primi due punti, è la definizione.
Sia $(X;d)$ uno spazio metrico e $A$ un suo sottoinsieme aperto.
$X$ è completo se ogni successione di Cauchy converge ad un elemento dello spazio.
$x_0 in A$ è detto punto di accumulazione se $AAr>0$: $B_r(x_0)$$nnn$$A-{x_0}$ non è vuoto. Come vedi queste proprietà sono definite a partire da un generico spazio metrico.
Fissate le definizioni, che cosa ti interessa in particolare ?

[indovina]

Sono argomenti per l'esame e vorrei diciamo 'prendere i punti chiave', come hai fatto tu ora spiegandomeli semplicemente.

Se serve anche le dimostrazioni, cosa che dovrei vedere sul quaderno degli appunti.

Son cose 'basillari', ma le definizioni non sono il mio forte.

[Relegal]

"clever":Sono argomenti per l'esame e vorrei diciamo 'prendere i punti chiave', come hai fatto tu ora spiegandomeli semplicemente.

Se serve anche le dimostrazioni, cosa che dovrei vedere sul quaderno degli appunti.

Son cose 'basillari', ma le definizioni non sono il mio forte.

Si può ad esempio dimostrare che $RR$ è completo. A tal scopo, sia ${X_n}$ una successione di Cauchy. L'essere di Cauchy implica che ${x_n}$ è limitata. è così possibile applicare il teorema di Bolzano-Weierstrass che garantisce l'esistenza di una sottosuccessione ${x_(n_k)}$ convergente a un certo $l in RR$.Allora, $AA \epsilon$ $EE \mu in NN$ tale che $AA h> \mu$ si ha $|{x_(n_h)}-l|<\epsilon$. Essendo la successione da Cauchy si ha anche $|x_n-x_m|<\epsilon$ $AA n,m>N$ (per un certo $N$.)
Detto$Y_h:=max{N,n_(\mu)}$ si ha che $|x_n-l|<|x_n-Y_h|+|Y_h-l|<2\epsilon.$

[indovina]

Le successioni di Cauchy mi pare di aver letto che sono sempre convergenti, e Cauchy sia conseguenza dell'assioma di Deedekind e il principio d'Archimede.
E' giusto o ricordo male?

[Relegal]

"clever":Le successioni di Cauchy mi pare di aver letto che sono sempre convergenti, e Cauchy sia conseguenza dell'assioma di Deedekind e il principio d'Archimede.
E' giusto o ricordo male?

Allora, mettiamoci nel solito spazio metrico. Se una successione converge allora è di Cauchy. Se tale condizione risulta anche essere sufficiente per la convergenza, lo spazio si dice completo. Una definizione del genere sottintende l'esistenza di spazi metrici non completi, cioè in cui esistono successioni di Cauchy non convergenti nello spazio. Nel post precedente ho riportato una dimostrazione della completezza di $RR$. ( Cioè, data una successione di numeri reali che sia di Cauchy, si ha che tale successione converge in $RR$).
Ah, per chiarezza: Dicesi di Cauchy una successione ${x_n} sube X$ t.c.
$AA\epsilon>0, EE N=N_\epsilon : AA n,m>N $vale $d(x_n , x_m)<\epsilon$.

[dissonance]

No, Relegal, non mi piace la piega che stai dando. Penso che clever abbia seguito un corso di Analisi 1 nel quale ancora non si è parlato di spazi metrici, e a ragione: per parlare di spazio metrico prima occorre avere a disposizione il sistema dei numeri reali con tutti i teoremi principali. Quello che gli stai dicendo rischia di confonderlo.

Ad esempio, in genere quando si parla di "completezza" riferita ad $RR$ ci si riferisce alla proprietà dell'estremo superiore: ogni parte di $RR$ limitata superiormente ha estremo superiore. Una possibile definizione assiomatica di $RR$ è:

$RR$ è l'unico campo ordinato con la proprietà dell'estremo superiore.

Seguono da qui la proprietà archimedea (per ogni $x, y>0$ esiste $n\inNN$ tale che $nx=x+x+...+x>y$);
la densità dei numeri razionali nei reali ($QQ\subset RR$ e per ogni $a, b\inRR, a l'esistenza delle radici quadrate, la completezza nel senso delle successioni di Cauchy e tante altre belle cose.

ATTENZIONE!!! Questa è una maniera di procedere. In realtà ce ne sono a dozzine: ad esempio $RR$ può essere costruito esplicitamente a partire da $QQ$, oppure si può procedere a ritroso, presentando assiomaticamente $RR$ e costruendo $ZZ$ come suo sottoinsieme induttivo, e ancora in tanti altri modi.

Quindi, @clever: non credo che possiamo aiutarti qui sul forum senza confonderti irrimediabilmente le idee. Ognuno ti potrà parlare della personale definizione di $RR$ che conosce lui, e due qualsiasi di queste definizioni possono essere anche MOLTO diverse tra loro, e MOLTISSIMO diverse da quello che ti è stato insegnato e ti verrà richiesto all'esame. Prendi i tuoi appunti, studia da quelli, e se hai dubbi poni richieste più specifiche.

P.S.: Quale libro è stato consigliato dal tuo professore?

[Relegal]

"dissonance":No, Relegal, non mi piace la piega che stai dando. Penso che clever abbia seguito un corso di Analisi 1 nel quale ancora non si è parlato di spazi metrici, e a ragione: per parlare di spazio metrico prima occorre avere a disposizione il sistema dei numeri reali con tutti i teoremi principali. Quello che gli stai dicendo rischia di confonderlo.

Ad esempio, in genere quando si parla di "completezza" riferita ad $RR$ ci si riferisce alla proprietà dell'estremo superiore: ogni parte di $RR$ limitata superiormente ha estremo superiore. Una possibile definizione assiomatica di $RR$ è:

$RR$ è l'unico campo ordinato con la proprietà dell'estremo superiore.

Seguono da qui la proprietà archimedea (per ogni $x, y>0$ esiste $n\inNN$ tale che $nx=x+x+...+x>y$);
la densità dei numeri razionali nei reali ($QQ\subset RR$ e per ogni $a, b\inRR, a l'esistenza delle radici quadrate, la completezza nel senso delle successioni di Cauchy e tante altre belle cose.

ATTENZIONE!!! Questa è una maniera di procedere. In realtà ce ne sono a dozzine: ad esempio $RR$ può essere costruito esplicitamente a partire da $QQ$, oppure si può procedere a ritroso, presentando assiomaticamente $RR$ e costruendo $ZZ$ come suo sottoinsieme induttivo, e ancora in tanti altri modi.

Quindi, @clever: non credo che possiamo aiutarti qui sul forum senza confonderti irrimediabilmente le idee. Ognuno ti potrà parlare della personale definizione di $RR$ che conosce lui, e due qualsiasi di queste definizioni possono essere anche MOLTO diverse tra loro, e MOLTISSIMO diverse da quello che ti è stato insegnato e ti verrà richiesto all'esame. Prendi i tuoi appunti, studia da quelli, e se hai dubbi poni richieste più specifiche.

P.S.: Quale libro è stato consigliato dal tuo professore?

Dalla domanda non era in effetti chiaro quello di cui avesse bisogno. Però, parlando di punti di accumulazione ho pensato, magari a torto, che avesse parlato di spazi metrici. Nel dubbio io gli ho riportato le due definizioni quantomeno per capire se stessimo parlando della stessa cosa . Penso comunque, alla luce delle sue risposte, che abbia ragione tu. Aspettiamo allora che Clever eventualmente ci chieda che cosa in particolare non gli è chiaro, a risentirci !

[indovina]

Si, sto preparando l'esame di analisi 1.
Ecco perchè non capivo quesi spazi metrici quali fossero, pensavo che fossi io a non averli studiati.
Ora riguardo i miei appunti e se ho da chiedere, e penso che ne avrò, postero qui, in questo topic.
grazie