Dubbi sul calcolo del limite a due variabili
Salve a tutti stavo iniziando a fare esercizi sui limiti di funzioni a due variabili, e sto avendo difficoltà nello svolgere questi esercizi ed il metodo utilizzato.
So che prima di devo verificare l'esistenza del limite, e nel caso in cui esista calcolarlo, i miei dubbi sorgono proprio sui metodi da utilizzare, il metodo delle restrizioni e quello delle maggiorazioni.
Per quanto riguarda il metodo delle restrizioni questo permette di verificare l'esistenza del limite, scegliendo apposite restizioni, se esiste calcolo il limite.
Adesso sorgono i dubbi, se vedo che il limite esiste e le restizioni ammettono un limite finito, in pratica non ho trovato il limite della funzione?
A questo punto il metodo delle maggiorazioni quando si dovrebbe usare?
Ringrazio anticipatamente chiunque abbia la pazienza di rispondermi, e di risolvere i miei dubbi.
So che prima di devo verificare l'esistenza del limite, e nel caso in cui esista calcolarlo, i miei dubbi sorgono proprio sui metodi da utilizzare, il metodo delle restrizioni e quello delle maggiorazioni.
Per quanto riguarda il metodo delle restrizioni questo permette di verificare l'esistenza del limite, scegliendo apposite restizioni, se esiste calcolo il limite.
Adesso sorgono i dubbi, se vedo che il limite esiste e le restizioni ammettono un limite finito, in pratica non ho trovato il limite della funzione?
A questo punto il metodo delle maggiorazioni quando si dovrebbe usare?
Ringrazio anticipatamente chiunque abbia la pazienza di rispondermi, e di risolvere i miei dubbi.
Risposte
Ciao!Ardua faccenda xD
Intanto il metodo delle restrizioni è molto utile per dimostrare che un limite NON esiste. Infatti se trovi due cammini diversi le cui restrizioni forniscono limiti diversi allora il limite non esiste.
Per dimostrare l'esistenza del limite questo metodo non è molto adatto e non basta affatto.
Considera ad esempio $f(x,y)=(xy^2)/(x^2+y^4)$. In questo caso le restrizioni agli assi cartesiani e alla retta y=x ti fanno "vedere" limite=0( anzi addirittura puoi ottenere 0 anche da tutte le rette $y=mx$) ma questo non basta per dire che il limite esiste e fa zero. Infatti se consideri la restrizioni $f(t^2,t)$ ottieni limite $1/2$
Per dimostrare l'esistenza di un limite può essere utile passare in coordinate polari o pensare a qualche stima/maggiorazione ...ma non c'è un metodo standard efficace per ogni caso
Intanto il metodo delle restrizioni è molto utile per dimostrare che un limite NON esiste. Infatti se trovi due cammini diversi le cui restrizioni forniscono limiti diversi allora il limite non esiste.
Per dimostrare l'esistenza del limite questo metodo non è molto adatto e non basta affatto.
Considera ad esempio $f(x,y)=(xy^2)/(x^2+y^4)$. In questo caso le restrizioni agli assi cartesiani e alla retta y=x ti fanno "vedere" limite=0( anzi addirittura puoi ottenere 0 anche da tutte le rette $y=mx$) ma questo non basta per dire che il limite esiste e fa zero. Infatti se consideri la restrizioni $f(t^2,t)$ ottieni limite $1/2$
Per dimostrare l'esistenza di un limite può essere utile passare in coordinate polari o pensare a qualche stima/maggiorazione ...ma non c'è un metodo standard efficace per ogni caso
In realta' il metodo delle restrizioni (che suppongo essere metodo delle restrizioni a qualche curva specifica), ti serve per provare che un limite non esiste. Esempio: considera la funzione \(f : \mathbb{R}^2 \setminus \{x=0\} \to \mathbb{R} \) definita da \(f(x,y)=y^3 / x^2\). Studiamo il comportamento di \(f\) nell'origine; si ha che, se ci si restringe alla curva \( g(x)=(x,x^{2/3})\), allora \( f(g(x)) = 1 \) per ogni \(x \in \mathbb{R} \). Se invece ci restringiamo alla curva \( h(x) = (x,x)\) si ha \(f(h(x))=x \) e quindi, lungo \(h\), \(f \to 0 \) se \((x,y)\to (0,0)\). Questo mostra che \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) \) non esiste (la definizione di esistenza del limite e' "violata").
Per verificare il limite con le restrizioni dovresti dimostrare che ‘ogni restrizione’ ti porta allo stesso limite.
Quindi se non ho capito male, prima verifico l'esistenza del limite con le restrizioni e determino il valore del limite con le coordinate polari o comunque maggiorando?
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