Dubbi sui numeri complessi

[fenghuang]

Ciao a tutti, ho un problema coi numeri complessi dove devo scrivere in forma algebrica tutte le soluzioni nel campo complesso di

$ z|z^2| - 5i \bar z = 0$

ho ragionato nel seguente modo:

$ z^2 = (a + bi)(a+bi) = a^2 - b^2 + 2abi$

quindi

$|z^2| = sqrt((a^2 -b^2)^2 +(2ab)^2) = sqrt(a^4 + b^4 -2a^2 b^2 + 4a^2 b^2) = sqrt((a^2 + b^2)^2) = a^2 + b^2$

da cui

$z|z^2| = (a + bi)(a^2 + b^2) = a^3 - b^3 i + ab^2 + a^2 bi$

ed essendo

$5i \bar z = 5i(a-bi) = 5ai + 5b$

ho, tornando alla mia equazione

$a^3 - b^3 i + ab^2 + a^2 bi - (5ai + 5b) = 0$

ovvero, in forma algebrica

$(a^3 + ab^2 - 5b) + (a^2 b - b^3 - 5a) i = 0$

da qui non so cosa devo fare, perchè non credo di aver finito l'esercizio, visto che ho semplicemente riscritto in forma algebrica la mia equazione originale. Qualcuno saprebbe spiegarmi cosa fare?

Grazie mille in anticipo

[kobeilprofeta]

Ad occhio mi sembra che $(a^3+ab^2-5b)= -(a^2b-b^3-5a)i$ solo quando le parentesi valgono $0$.
Quindi farei
$\sis{(a^3+ab^2-5b=0),(a^2-b^3-5a=0)}$

PS: non ci riesco ma quello dovrebbe essere un sistema

[Palliit]

Potrebbe essere vantaggioso scrivere $z$ in forma esponenziale.

[Camillo]

Incredibilmente vantaggioso

[fenghuang]

grazie per il consiglio, però sfortunatamente non so bene come funzioni la forma esponenziale. Per ora so solo che è un'abbreviazione della forma trigonometrica.

Per esempio, quando dite di scrivere $z$ in forma esponenziale, io lo riscriverei come

$z= |z| e^(i\theta)$

quindi, dalla mia equazione, vedo $ z |z^2| $ che scrivo come $|z^3| e^(i\theta)$ giusto?

ora però io non so veramente come passare dalla forma algebrica a quella esponenziale, perché, come ho detto, non conosco bene quest'ultima, mi è stato solo detto che essa è un'abbreviazione della forma trigonometrica.

Già scrivere il coniugato di z non saprei come farlo, anche se intuitivamente, essendo $\bar z = a- bi$ mi viene da dire che esso possa venir scritto nel seguente modo

$\bar z = |z| e^(i(-\theta))$

potreste dirmi se è corretto? e in più, potrei anche chiedervi di darmi una spiegazione sul come passare dalla forma esponenziale a quella algebrica, visto che, appunto, non ho le idee chiare al riguardo?

ancora grazie per la disponibilità

[Palliit]

È corretto quello che hai scritto. Non hai necessariamente bisogno di passare dalla forma algebrica a quella esponenziale, semplicemente una volta che esprimi $z$ nella forma $z=rho e^(i theta)$, l'equazione la risolvi rispetto alle incognite $rho$ e $theta$.

[Palliit]

$rho^3 e^(i theta)=5i rho e^(-i theta)$, e tanto per cominciare uguagli i moduli di primo e secondo membro.

[fenghuang]

ok grazie mille. solo per vedere se ho capito tutto, essendo la mia equazione originale

$z|z^2| - 5i \bar z = 0$

riscrivo il tutto come

$|z^3| e^(i\theta) - 5i |z| e^(i(-\theta)) = 0$

che posso scrivere come

$|z^3| e^(i\theta) - 5e^(i(π/2)) |z| e^(i(-\theta)) = 0$ che è uguale a $|z^3| e^(i\theta) - 5|z| e^(i(π/2 -\theta)) = 0$

quindi vado a cercare le mie soluzioni.

$z = 0$ dovrebbe essere una di queste no?

ora, però potrebbero essercene altre, come faccio a trovarle in questo caso? risolvo $|z^3| e^(i\theta) - 5|z| e^(i(π/2 -\theta)) = 0$ come fosse una normale equazione e cerco per quali altri valori di z essa si annulla?

se è cosi che devo procedere io farei il logaritmo di tutto quanto, ottenendo

$ log(|z^3| e^(i\theta)) - log(5 |z| e^(i(π/2 - \theta))) $ $ $ $ = log|z^3| + log (e^(i\theta)) - log 5 - log |z| - log e^(i(π/2 - \theta)) $ $ $$ = log|z^3| + i\theta - log 5 - log |z| - i(π/2 - \theta) $ $ = $ $0 $

se è corretto da qui voi come procedereste? perchè io non sono molto sicuro su come fare.

[fenghuang]

scusa palliit non mi è molto chiaro quello che intendi qui

"Palliit":$rho^3 e^(i theta)=5i rho e^(-i theta)$, e tanto per cominciare uguagli i moduli di primo e secondo membro.

premetto di aver scritto il messaggio precedente a questo prima di leggere questo tuo ultimo commento, ma fammi capire se ho inteso quello che dici tu

$rho^3 e^(i theta)=5i rho e^(-i theta)$ ed eguagliando i moduli $rho^3 = 5i rho$ ottengo che per $rho = +- sqrt(5i) $ la mia equazione diventa

$e^(i theta) = e^(-i theta) $, che vale solo per $theta = 0$ giusto?

quindi una soluzione mi è data da $z = + sqrt(5i) $ e l'altra da $ z = - sqrt(5i)$ ho capito bene?

[Camillo]

$ rho $ cioè il modulo del numero complesso $z $ deve per forza essere reale e positivo o al limite nullo ma certo non immaginario !!!

[Palliit]

Quando scrivi che $z=rho e^(i theta)$ devi imporre che $rho>=0$ (con $rho in RR$) e che $0<=theta<2 pi$.
Detto questo, nella:

(1) $rho^3 e^(i theta)= 5i rho e^(-i theta)$

uguagliando i moduli devi considerare che $|i|=1$, per cui ottieni: $rho^3=5 rho$, da cui ricavi due soluzioni accettabili per $rho$. Sostituendole di volta in volta nella (1) trovi in un caso $z=0$, nell'altro (con poche facili semplificazioni e scrivendo anche $i$ in forma esponenziale, cioè: $i=e^(i pi/2)$ ):

(2) $e^(i theta)=e^(i pi/2-i theta)$ ,

dove uguagliando - a meno di $2k pi$ - gli esponenti trovi: $theta = pi/4+k pi$ ; in quest'ultima assegni a $k$ tutti i valori naturali compatibili con le limitazioni sull'angolo $theta$ e trovi le altre due soluzioni per $z$; a questo punto, visto che la richiesta è di esprimerle in forma algebrica, usi la: $rho e^(i theta)=rho (cos theta + i sin theta)$ e hai finito.