Dubbi sui limiti
Ho dei dubbi sui limiti che vorrei chiarire perché alcune definizioni sono davvero ambigue.
Premetto che con l'insieme $\tilde{\mathbb{R}}$ indico l'insieme reale esteso, mentre con $\bar{\mathbb{R}}$ l'insieme reale compattificato.
\(\displaystyle \tilde{\mathbb{R}}=\mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} \qquad \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R} \cup \{\infty\} \)
Ho due dubbi:
$1)$ Se il risultato di un limite è in uno dei due insiemi allora devo dire che il limite esiste in uno dei due insiemi, ma non nell'altro?
Ad esempio:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \)
Questo limite non esiste in $\tilde{\mathbb{R}}$, mentre però in $\bar{\mathbb{R}}$ esiste e vale $\infty$.
Questo mi porta ad una domanda:
$2)$ I limiti destro e sinistro sono validi solo nell'insieme reale esteso?
Queste altre due sono più importanti di quelle sopra
$3)$ E' possibile avere un limite come quello sotto
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=l \)
Con $x_0 \in \tilde{\mathbb{R}}$ e $l \in \bar{\mathbb{R}}$?
Per esempio avere un limite
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=+\infty \)
La risposta a questo dovrebbe essere si, ma voglio esserne sicuro, per questo chiedo agli esperti
.
Infine poi ho un ultima domanda non proprio riguardante i limiti, ma relativa ad essi.
$4)$ Un intorno destro, oppure sinistro, è diverso da un intorno completo di un punto?
Mi chiedo questo per la definizione di intorno data in generale: L'intorno di un punto è qualsiasi intervallo contenente il punto.
Se quindi l'intervallo contiene il punto allora questo per essere un intorno del punto, il punto non deve essere un estremo, cosa che accade proprio negli intorni destro e sinistro.
Allora mi chiedo questi tre oggetti: intorno, intorno destro e intorno sinistro, sono tutti differenti?
Se si com'è possibile dare la definizione di limite in forma topologica includendo anche gli intorni destri e sinistri?
Se mi aiutate a risolvere questi dubbi ve ne sono davvero grato.
Buona giornata.
Premetto che con l'insieme $\tilde{\mathbb{R}}$ indico l'insieme reale esteso, mentre con $\bar{\mathbb{R}}$ l'insieme reale compattificato.
\(\displaystyle \tilde{\mathbb{R}}=\mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} \qquad \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R} \cup \{\infty\} \)
Ho due dubbi:
$1)$ Se il risultato di un limite è in uno dei due insiemi allora devo dire che il limite esiste in uno dei due insiemi, ma non nell'altro?
Ad esempio:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \)
Questo limite non esiste in $\tilde{\mathbb{R}}$, mentre però in $\bar{\mathbb{R}}$ esiste e vale $\infty$.
Questo mi porta ad una domanda:
$2)$ I limiti destro e sinistro sono validi solo nell'insieme reale esteso?
Queste altre due sono più importanti di quelle sopra
$3)$ E' possibile avere un limite come quello sotto
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=l \)
Con $x_0 \in \tilde{\mathbb{R}}$ e $l \in \bar{\mathbb{R}}$?
Per esempio avere un limite
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=+\infty \)
La risposta a questo dovrebbe essere si, ma voglio esserne sicuro, per questo chiedo agli esperti
.Infine poi ho un ultima domanda non proprio riguardante i limiti, ma relativa ad essi.
$4)$ Un intorno destro, oppure sinistro, è diverso da un intorno completo di un punto?
Mi chiedo questo per la definizione di intorno data in generale: L'intorno di un punto è qualsiasi intervallo contenente il punto.
Se quindi l'intervallo contiene il punto allora questo per essere un intorno del punto, il punto non deve essere un estremo, cosa che accade proprio negli intorni destro e sinistro.
Allora mi chiedo questi tre oggetti: intorno, intorno destro e intorno sinistro, sono tutti differenti?
Se si com'è possibile dare la definizione di limite in forma topologica includendo anche gli intorni destri e sinistri?
Se mi aiutate a risolvere questi dubbi ve ne sono davvero grato
.Buona giornata.
Risposte
Ciao CaMpIoN.
Non capisco cosa intendi dire di preciso: cos'è questo insieme reale compattificato? Nel prosieguo lo tratterò semplicemente come $RR \\ {-oo,+oo}$...
No, quel limite non esiste né in $tilde RR$ né in $bar RR = RR \\{-oo, +oo}$. Nell'insieme reale esteso infatti i limiti destro e sinistro sono diversi:
mentre in $bar RR = RR \\{-oo, +oo}$ i valori dei limiti destro e sinistro non esistono affatto:
Ho già risposto
Non so risponderti perché non ho ancora capito cosa intendi con $bar RR = RR cup {oo}$ - inoltre hai scritto "limite per x che tende a infinito"... quale? $+oo$ oppure $-oo$?
Per definizione un intorno di un punto $x_0 in RR$ è un intervallo aperto che contiene $x_0$, quindi i seguenti intervalli sono tutti esempi di intorni di $x_0$:
Come vedi, non è vero che il punto non deve essere un estremo. Per convincersene basta calcolarsi $lim_(x->0) sqrtx$
"CaMpIoN":
Premetto che con l'insieme $\tilde{\mathbb{R}}$ indico l'insieme reale esteso, mentre con \(\displaystyle \color{red}{\bar{\mathbb{R}}} \) l'insieme reale compattificato.
\(\displaystyle \tilde{\mathbb{R}}=\mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\} \qquad \color{red}{\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R} \cup \{\infty\}} \)
Non capisco cosa intendi dire di preciso: cos'è questo insieme reale compattificato? Nel prosieguo lo tratterò semplicemente come $RR \\ {-oo,+oo}$...
"CaMpIoN":
$1)$ Se il risultato di un limite è in uno dei due insiemi allora devo dire che il limite esiste in uno dei due insiemi, ma non nell'altro?
Ad esempio:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \)
Questo limite non esiste in $\tilde{\mathbb{R}}$, mentre però in $\bar{\mathbb{R}}$ esiste e vale $\infty$.
No, quel limite non esiste né in $tilde RR$ né in $bar RR = RR \\{-oo, +oo}$. Nell'insieme reale esteso infatti i limiti destro e sinistro sono diversi:
$f:RR -> tilde RR, qquad f(x):=1/x$
$lim_(x->0^-)1/x=-oo$
$lim_(x->0^+)1/x=+oo$
$=>lim_(x->0)1/x=text(non esiste)$
mentre in $bar RR = RR \\{-oo, +oo}$ i valori dei limiti destro e sinistro non esistono affatto:
$f:RR -> bar RR, qquad f(x):=1/x$
$lim_(x->0^-)1/x=text(non esiste)$
$lim_(x->0^+)1/x=text(non esiste)$
$=>lim_(x->0)1/x=text(non esiste)$
"CaMpIoN":
Questo mi porta ad una domanda:
$2)$ I limiti destro e sinistro sono validi solo nell'insieme reale esteso?
Ho già risposto
"CaMpIoN":
$3)$ E' possibile avere un limite come quello sotto
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=l \)
Con $x_0 \in \tilde{\mathbb{R}}$ e $l \in \bar{\mathbb{R}}$?
Per esempio avere un limite
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=+\infty \)
La risposta a questo dovrebbe essere si, ma voglio esserne sicuro, per questo chiedo agli esperti
Non so risponderti perché non ho ancora capito cosa intendi con $bar RR = RR cup {oo}$ - inoltre hai scritto "limite per x che tende a infinito"... quale? $+oo$ oppure $-oo$?
"CaMpIoN":
$4)$ Un intorno destro, oppure sinistro, è diverso da un intorno completo di un punto?
Mi chiedo questo per la definizione di intorno data in generale: L'intorno di un punto è qualsiasi intervallo contenente il punto.
Se quindi l'intervallo contiene il punto allora questo per essere un intorno del punto, il punto non deve essere un estremo, cosa che accade proprio negli intorni destro e sinistro.
Per definizione un intorno di un punto $x_0 in RR$ è un intervallo aperto che contiene $x_0$, quindi i seguenti intervalli sono tutti esempi di intorni di $x_0$:
$(x_0 - delta, x_0 + delta) qquad (x_0 - delta, x_0) qquad (x_0, x_0 + delta)$
Come vedi, non è vero che il punto non deve essere un estremo. Per convincersene basta calcolarsi $lim_(x->0) sqrtx$
"Brancaleone":
Ciao CaMpIoN.
Non capisco cosa intendi dire di preciso: cos'è questo insieme reale compattificato? Nel prosieguo lo tratterò semplicemente come $RR \\ {-oo,+oo}$...
Credo che l'argomento relativo sia questo: http://it.wikipedia.org/wiki/Compattifi ... Alexandrov
Ad ogni modo il mio libro dice che si può scrivere
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}=\infty \)
Per indicare che la funzione negli intorni del punto $0$ può tendere o ad infinito o a meno infinito. Ne da anche una definizione $\varepsilon-\delta$:
\(\displaystyle \forall M>0 \; \exists \delta>0: \forall x \in D \; 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)|>M \)
Analogamente estende il caso anche a limiti per $x$ che tende a $\infty$:
\(\displaystyle \forall \varepsilon>0 \; \exists N>0: \forall x \in D \; |x|>M \Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon \)
"Brancaleone":
[quote="CaMpIoN"]$1)$ Se il risultato di un limite è in uno dei due insiemi allora devo dire che il limite esiste in uno dei due insiemi, ma non nell'altro?
Ad esempio:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \)
Questo limite non esiste in $\tilde{\mathbb{R}}$, mentre però in $\bar{\mathbb{R}}$ esiste e vale $\infty$.
No, quel limite non esiste né in $\tilde{\mathbb{R}}$ né in $\bar \mathbb{R}=\mathbb{R}\\{−∞,+∞}$. Nell'insieme reale esteso infatti i limiti destro e sinistro sono diversi:
...[/quote]
Il risultato del limite sarebbe proprio il punto definito sopra che appartiene alla "retta estesa compattificata".
"Brancaleone":
[quote="CaMpIoN"]$3)$ E' possibile avere un limite come quello sotto
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=l \)
Con $x_0 \in \tilde{\mathbb{R}}$ e $l \in \bar{\mathbb{R}}$?
Per esempio avere un limite
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=+\infty \)
La risposta a questo dovrebbe essere si, ma voglio esserne sicuro, per questo chiedo agli esperti
Non so risponderti perché non ho ancora capito cosa intendi con $bar RR = RR cup {oo}$ - inoltre hai scritto "limite per x che tende a infinito"... quale? $+oo$ oppure $-oo$?
[/quote]Secondo la "Compattificazione di Alexandrov" di $\mathbb{R}$ ora puoi rispondermi?
"Brancaleone":
...
Per definizione un intorno di un punto $x_0 in RR$ è un intervallo aperto che contiene $x_0$, quindi i seguenti intervalli sono tutti esempi di intorni di $x_0$:
$(x_0 - delta, x_0 + delta) qquad (x_0 - delta, x_0) qquad (x_0, x_0 + delta)$
Come vedi, non è vero che il punto non deve essere un estremo. Per convincersene basta calcolarsi $lim_(x->0) sqrtx$
Quelli da te definiti sono intorni di $x_0$ perché per essi si verifica sempre la condizione:
\(\displaystyle a
\(\displaystyle (x_0-\delta,x_0] \qquad [x_0,x_0+\delta) \)
Sono intorni di $x_0$, ma le disuguaglianze:
\(\displaystyle x_0-\delta
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