Dubbi sugli integrali tripli
Salve ragazzi vi posto tre integrali , perchè vorrei cercare di capire meglio come farli , in quanto mi sono sorti dei dubbi...
[tex]\int \int \int(x^2+y^2+z) dxdydz[/tex]
il dominio
[tex]T= x^2+y^2+z^2\leq 2,x^2+y^2\geq z^2,z\geq 0[/tex] (x,y,z)appartenenti ad R^3
il mio ragionamento è il seguente poichè ho x^2+y^2 che varia tra z^2 e 2-z^2 , affinchè il dominio sia non vuoto dev'essere
z^2<=2-z^2
risolvo e ottengo quindi i valori di z per cui il dominio è non nullo cioè -1<=z<=1 poichè ho la condizione nel dominio per cui z>=0 avrò
0<=Z<=1
Poi l'integrale viene per sezioni....
Secondo integrale
[tex]\int \int \int \frac{arcos(3x^2+2y^2)}{2\sqrt{3x^2 + 2y^2}}dxdydz[/tex] (x,y,z)appartenenti ad R^3
dominio
[tex]\frac{1}{2}\leq 3x^2+2y^2\leq 1, \sqrt{2}y\leq |x| , z^2-3x^2-2y^2\leq 0[/tex]
Beh in questo caso visto che la z mi varia tra due funzioni (-(3x^2+2y^2)^1/2 e (3x^2+2y^2)^1/2)
Allora sarebbe opportuna il metodo di itnegrazione per proiezioni anche perchè dopo la z non spunta in altre condizioni , ho solo quella...
Adesso il mio dubbio era che in questo caso come nel precedente avrei dovuto studiare z^2 in funzione di 1/2 e 1 perchè altrimenti il dominio sarebbe stato nullo..cioè se z^2 fosse minore di 1/2 per esempio non avrei potuto integrarlo...Adesso non so se in questo caso è diverso dal precende perchè li figuravano x^2 e y^2 qua figura anche z...Grazie in anticipo
[tex]\int \int \int(x^2+y^2+z) dxdydz[/tex]
il dominio
[tex]T= x^2+y^2+z^2\leq 2,x^2+y^2\geq z^2,z\geq 0[/tex] (x,y,z)appartenenti ad R^3
il mio ragionamento è il seguente poichè ho x^2+y^2 che varia tra z^2 e 2-z^2 , affinchè il dominio sia non vuoto dev'essere
z^2<=2-z^2
risolvo e ottengo quindi i valori di z per cui il dominio è non nullo cioè -1<=z<=1 poichè ho la condizione nel dominio per cui z>=0 avrò
0<=Z<=1
Poi l'integrale viene per sezioni....
Secondo integrale
[tex]\int \int \int \frac{arcos(3x^2+2y^2)}{2\sqrt{3x^2 + 2y^2}}dxdydz[/tex] (x,y,z)appartenenti ad R^3
dominio
[tex]\frac{1}{2}\leq 3x^2+2y^2\leq 1, \sqrt{2}y\leq |x| , z^2-3x^2-2y^2\leq 0[/tex]
Beh in questo caso visto che la z mi varia tra due funzioni (-(3x^2+2y^2)^1/2 e (3x^2+2y^2)^1/2)
Allora sarebbe opportuna il metodo di itnegrazione per proiezioni anche perchè dopo la z non spunta in altre condizioni , ho solo quella...
Adesso il mio dubbio era che in questo caso come nel precedente avrei dovuto studiare z^2 in funzione di 1/2 e 1 perchè altrimenti il dominio sarebbe stato nullo..cioè se z^2 fosse minore di 1/2 per esempio non avrei potuto integrarlo...Adesso non so se in questo caso è diverso dal precende perchè li figuravano x^2 e y^2 qua figura anche z...Grazie in anticipo
Risposte
Credo che tu abbia notato che il dominio e'
la semisfera di raggio $ sqrt(2) $
a cui togliamo un cono con vertice nell'origine con angolo di apertura pari a $ pi/4 $ rivolto verso l'alto.
A questo punto non e' meglio passare in coordinate polari ???
Ci si semplifica l'esistenza non di poco.
L'integrale diventa
$ int int int_( )^( ) [rho^2(coseta)^2(sinphi)^2+rho^2(sineta)^2(sinphi)^2+rho(cosphi)]rho^2 \ drho\ d eta\ dphi = $
$ int int int_( )^( ) [rho^2(sinphi)^2+rho(cosphi)]rho^2 \ drho\ d eta\ dphi $
Il dominio diventa
$ rho < sqrt(2), 0 < eta < 2pi, pi/4 < phi
che e' molto piu' facile da risolvere.
la semisfera di raggio $ sqrt(2) $
a cui togliamo un cono con vertice nell'origine con angolo di apertura pari a $ pi/4 $ rivolto verso l'alto.
A questo punto non e' meglio passare in coordinate polari ???
Ci si semplifica l'esistenza non di poco.
L'integrale diventa
$ int int int_( )^( ) [rho^2(coseta)^2(sinphi)^2+rho^2(sineta)^2(sinphi)^2+rho(cosphi)]rho^2 \ drho\ d eta\ dphi = $
$ int int int_( )^( ) [rho^2(sinphi)^2+rho(cosphi)]rho^2 \ drho\ d eta\ dphi $
Il dominio diventa
$ rho < sqrt(2), 0 < eta < 2pi, pi/4 < phi
che e' molto piu' facile da risolvere.
il problema non era sul primo integrale(ti ringrazio per aver dato un'altra idea su come farlo), il problema era per lo più per il secondo integrale...
Per il secondo integrale hai provato a fare il cambio di variabili seguente ?
$sqrt(3)x=\rho cos \theta$
$sqrt(2)y=\rho sin \theta$
$z=z$
Ti dovresti accorgere che l'integrale originario diventerebbe più facile da gestire.
$sqrt(3)x=\rho cos \theta$
$sqrt(2)y=\rho sin \theta$
$z=z$
Ti dovresti accorgere che l'integrale originario diventerebbe più facile da gestire.
ci ho pensato ma c'è una x libera non conviene...per il resto il dubbio era sul procedimento se fosse giusto oppure se devo discutere i valori k^2 rispetto a 1/2 e 1 per evitare che l'integrale non venga calcolato in un dominio nullo..
"rinale84":
ci ho pensato ma c'è una x libera non conviene...
Ma cosa intendi con una $x$ libera? Intendi che non riesci a determinare eplicitamente i suoi estremi di integrazione?
A mio giudizio, ho fatto tutti i calcoli, la sostituzione da me proposta porta rapidamente a determinare la soluzione.
Sono d'accordo,ma il mio problema resta sempre il dominio...
up
Non ho proprio capito quale sia la difficoltà nel determinare il dominio con la sostituzione da me proposta, riusciresti a spiegarmi dove ti blocchi? non riesci a determinare l'intervallo in cui viaggia la $x$ ?
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