Dubbi sugli integrali
Ciao, ho due dubbi riguardo l'integrazione di funzioni razionali. Il primo riguarda il caso in cui il denominatore della funzione razionale fratta sia di grado maggiore del numeratore e non si annulli mai. Da quello che ho capito, ci sono due modi di procedere:
1) ricorrere ai numeri complessi e scomporre la funzione in una somma di funzioni irriducibili;
2) fare in modo da far comparire al numeratore la derivata del denominatore.
E' vero quello che ho detto? Qualcuno potrebbe farmi un breve riassunto sui metodi di integrazione delle funzioni razionali, visto che ho un pò di confusione, dal momento che un libro dice una cosa e un altro un'altra.
L'altra cosa che non ho capito è perchè, nella scomposizione della funzione integranda $[2x^2+3x-1]/[(x+2)(x^2+1)]=a/(x+2)+(bx+c)/(x^2+1)$, si pone al numeratore dell'ultima frazione bx+c e non semplicemente b. Grazie per le risposte
1) ricorrere ai numeri complessi e scomporre la funzione in una somma di funzioni irriducibili;
2) fare in modo da far comparire al numeratore la derivata del denominatore.
E' vero quello che ho detto? Qualcuno potrebbe farmi un breve riassunto sui metodi di integrazione delle funzioni razionali, visto che ho un pò di confusione, dal momento che un libro dice una cosa e un altro un'altra.
L'altra cosa che non ho capito è perchè, nella scomposizione della funzione integranda $[2x^2+3x-1]/[(x+2)(x^2+1)]=a/(x+2)+(bx+c)/(x^2+1)$, si pone al numeratore dell'ultima frazione bx+c e non semplicemente b. Grazie per le risposte
Risposte
Allora in attesa che qualcuno ti risponsa in modo eventualmente più preciso:
Non è possibile che un polinomio (a meno che non abbia grado 0) non si annulli mai, per il teorema fondamentale dell'algebra (e dintorni) un polinomio di grado n ha sempre esattamente n soluzioni, contate con la loro molteplicità, tra reali e complesse.
Il problema dell'integrazione di funzioni di questo tipo è sempre riguardante il caso in cui il denominatore abbia grado maggiore del nominatore, in caso contrario semplicemente si fa la divisione tra polinomi e ci si riconduce a questo caso.
Innanzitutto la prima cosa da fare è scomporre il polinomio al denominatore in prodotto di polinomi di primo grado e in polinomi di secondo grado senza radici reali (cosa che è sempre fattibile). A questo punto si esegue la grande rogna che è la scomposizione delle funzioni razionali... che adesso non sto a ridescrivere completamente (prova a guardare per esempio qui http://digilander.libero.it/zinabianca/integrali%20fratte.html).
Una volta fatta la decomposizione ci si ritrova con una somma di funzioni razionali con al denominatore polinomi di primo o secondo grado, eventualmente elevati a determinate potenze. A questo punto, in linee generali quello che si fa è: 1)quando sotto c'é un eq. di primo grado banalmente l'integrale è il logaritmo. 2)quando l'eq. di primo grado compare con un esponente, si usa l'integrazione per parti fino a ridursi al caso 1.
3) se sotto c'é un eq. di secondo grado possono succedere (sempre in linea generale) due cose: o sopra hai un polinomio di primo grado, nel qual caso puoi fare in modo da far comparire sopra la derivata del denominatore, oppure non hai alcuna x al nominatore, e in questo caso devi giocare col denominatore fino a ridurti a una forma che puoi integrare attraverso l'arcotangente.
Per l'ultima cosa che hai chiesto, in generale per la scomposizione dei razionali fratti (non mi ricordo il nome della tecnica, forse scomposizione in fratti semplici ma non sono sicuro) si mettono solo le costanti al nominatore in corrispondenza di denominatori di primo grado (la prima parte della funzioni che hai postato tu) mentre bisogna mettere la forma Ax + B con A e B costanti in corrispondenza di denominatori di secondo ordine.
Non è possibile che un polinomio (a meno che non abbia grado 0) non si annulli mai, per il teorema fondamentale dell'algebra (e dintorni) un polinomio di grado n ha sempre esattamente n soluzioni, contate con la loro molteplicità, tra reali e complesse.
Il problema dell'integrazione di funzioni di questo tipo è sempre riguardante il caso in cui il denominatore abbia grado maggiore del nominatore, in caso contrario semplicemente si fa la divisione tra polinomi e ci si riconduce a questo caso.
Innanzitutto la prima cosa da fare è scomporre il polinomio al denominatore in prodotto di polinomi di primo grado e in polinomi di secondo grado senza radici reali (cosa che è sempre fattibile). A questo punto si esegue la grande rogna che è la scomposizione delle funzioni razionali... che adesso non sto a ridescrivere completamente (prova a guardare per esempio qui http://digilander.libero.it/zinabianca/integrali%20fratte.html).
Una volta fatta la decomposizione ci si ritrova con una somma di funzioni razionali con al denominatore polinomi di primo o secondo grado, eventualmente elevati a determinate potenze. A questo punto, in linee generali quello che si fa è: 1)quando sotto c'é un eq. di primo grado banalmente l'integrale è il logaritmo. 2)quando l'eq. di primo grado compare con un esponente, si usa l'integrazione per parti fino a ridursi al caso 1.
3) se sotto c'é un eq. di secondo grado possono succedere (sempre in linea generale) due cose: o sopra hai un polinomio di primo grado, nel qual caso puoi fare in modo da far comparire sopra la derivata del denominatore, oppure non hai alcuna x al nominatore, e in questo caso devi giocare col denominatore fino a ridurti a una forma che puoi integrare attraverso l'arcotangente.
Per l'ultima cosa che hai chiesto, in generale per la scomposizione dei razionali fratti (non mi ricordo il nome della tecnica, forse scomposizione in fratti semplici ma non sono sicuro) si mettono solo le costanti al nominatore in corrispondenza di denominatori di primo grado (la prima parte della funzioni che hai postato tu) mentre bisogna mettere la forma Ax + B con A e B costanti in corrispondenza di denominatori di secondo ordine.
qualcuno potrebbe spiegarmi più precisamente perchè si mette bx+c?
in parole povere tu stai considerando il numeratore più generale possibile rispetto al denominatore $x^2+1$ che è di secondo grado. quindi il grado più alto del polinomio al numeratore deve essere un grado sotto per essere il caso più generale possibile.
Infatti se fosse maggiore si potrebbe dividere e non va bene, mentre se fosse di grado zero non stai considerando il caso più generale. è chiaro?
Infatti se fosse maggiore si potrebbe dividere e non va bene, mentre se fosse di grado zero non stai considerando il caso più generale. è chiaro?
Mmm... Non ci avevo pensato nemmeno io al perchè di questa posizione. Ragionandoci, però, alla luce dell'analisi complessa, qualunque polinomio ammette delle radici nel campo complesso, e, nel tuo caso:
$x^2+1 = (x-i)(x+i)$
Dunque, dividendo ancora in fratti semplici la parte in $1/(x^2+1)$ Otteniamo:
$"..." + B/(x+i) + C/(x-i) = "..." + \frac{ Bx - iB + Cx + iC }{x^2+1} = "..." + ( [B+C]x + i[C-B] )/(x^2+1)$
Cui, dalle posizioni:
$b = B+C$
$c = i(C-B)$
Troviamo che il polinomio è esprimibile proprio nella forma indicata.
$x^2+1 = (x-i)(x+i)$
Dunque, dividendo ancora in fratti semplici la parte in $1/(x^2+1)$ Otteniamo:
$"..." + B/(x+i) + C/(x-i) = "..." + \frac{ Bx - iB + Cx + iC }{x^2+1} = "..." + ( [B+C]x + i[C-B] )/(x^2+1)$
Cui, dalle posizioni:
$b = B+C$
$c = i(C-B)$
Troviamo che il polinomio è esprimibile proprio nella forma indicata.
ma così $c$ sarebbe complesso
edit: vabbe la mia osservazione non centra niente... noi poi in $\mathbb{R}$ consideriamo la parte reale di tutto e quindi non centra niente perchè se è per questo anche $b$ sarebbe complesso perchè giustamente il ragionamento è in $\mathbb{C}$.
edit: vabbe la mia osservazione non centra niente... noi poi in $\mathbb{R}$ consideriamo la parte reale di tutto e quindi non centra niente perchè se è per questo anche $b$ sarebbe complesso perchè giustamente il ragionamento è in $\mathbb{C}$.
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