Dubbi successioni e simboli di Landau

[Ambuz]

Ciao a tutti, è il mio primo post quindi spero di scrivere tutto correttamente. Ho dei dubbi su alcuni esercizi in preparazione all'esame di Analisi ad esempio:

Nell'ambito delle successioni, dare la definizione corrispondente ad \(\displaystyle a_n \sim b_n \) e quindi stabilire se è vero oppure falso che: \(\displaystyle \lim a_n = \lim b_n \Longrightarrow a_n \sim b_n \)

[*:162tjh6y]
Per quanto riguarda la definizione non penso ci siano problemi e risponderei in questo modo:

\(\displaystyle a_n \sim b_n \) quando \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 1 \)
[/*:162tjh6y][/list:u:162tjh6y]

[*:162tjh6y]
Per quanto riguarda la seconda parte del testo invece pensavo in questo modo:

Se i due limiti sono uguali essi potrebbero essere entrambi infiniti \(\displaystyle \lim a_n = \lim b_n = +\infty \). Il fatto che i limiti siano entrambi infiniti non mi porta comunque a poter dire con certezza che \(\displaystyle a_n \sim b_n \) in quanto i limiti potrebbero valere entrambi infinito, ma infiniti di ordine differente che porterebbero la definizione di asintotico a non essere confermata.

Ad esempio ponendo:


[*:162tjh6y]\(\displaystyle a_n = n^{n+1} \) [/*:162tjh6y]
[*:162tjh6y]\(\displaystyle b_n = n \) [/*:162tjh6y]
[/list:u:162tjh6y]
Entrambe le successioni confermerebbero l'ipotesi del testo ovvero \(\displaystyle \lim a_n = \lim b_n \) ma ciò non implica per forza che le successioni siano asintotiche tra loro in quanto effettuando il calcolo del limite utilizzando le successioni proposte come esempio risulterebbe:
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n+1}}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n}*n}{n} = \lim_{n \to \infty} n^{n} = \infty \neq 1\)

Quindi la risposta alla domanda è falso.
[/*:162tjh6y][/list:u:162tjh6y]

L'esercizio è svolto correttamente o ci sono errori?

Nel caso in cui abbia ulteriori dubbi sull'argomento (ci sono altri esercizi di questo tipo leggermente più complessi) posso eventualmente scrivere una risposta al topic senza aprirne uno nuovo?

Vi ringrazio e approfitto del post per augurarvi buon anno!

[gugo82]

La definizione è quella, sé quella ti hanno dato.

Il controesempio puoi farlo più semplice: prendi potenze di $n$ con esponenti distinti.

[Ambuz]

"gugo82":Il controesempio puoi farlo più semplice: prendi potenze di $ n $ con esponenti distinti.

Effettivamente è vero, potevo farlo in modo molto più semplice seguendo l'esempio da te proposto.

Per quanto riguarda invece la domanda

"Ambuz":
Nel caso in cui abbia ulteriori dubbi sull'argomento (ci sono altri esercizi di questo tipo leggermente più complessi) posso eventualmente scrivere una risposta al topic senza aprirne uno nuovo?

posso "sfruttare" nuovamente questo post nel caso di ulteriori dubbi in esercizi simili?

Grazie mille per la disponibilità!

[gugo82]

Se l’argomento è simile, perché no?