Dubbi successione di funzioni
Salve ragazzi,ho bisogno che qualcuno mi corregga il seguente esercizio , nel caso abbia sbagliato, non avendo la soluzione di tale esercizio!
Ho la successione di funzioni : $x/(1+nx^2)$ e devo verificarne la convergenza sia quella puntuale che quella uniforme!
A me entrambe vengono convergenti su tutto R,perchè,per quanto concerne quella puntuale passo al limite e mi viene sempre zero. E' su quella uniforme che ho più dubbi!
Ho preso la funzione e ne ho fatto il valore assoluto dato che $f(x)$ nel mio caso è proprio 0,e l'ho minorato con $|1/(1+nx^2)|$ che mi tende sempre a zero. E' corretto?
Poi mi chiede di discuterne il passaggio sotto il segno di derivata,ma per il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata (dato che le $f_n$ sono derivabili in tutto R e ivi convergono a zero) ho che il limite della successione derivata converge alla funzione derivata! Giusto?
Grazie in anticipo!
Ho la successione di funzioni : $x/(1+nx^2)$ e devo verificarne la convergenza sia quella puntuale che quella uniforme!
A me entrambe vengono convergenti su tutto R,perchè,per quanto concerne quella puntuale passo al limite e mi viene sempre zero. E' su quella uniforme che ho più dubbi!
Ho preso la funzione e ne ho fatto il valore assoluto dato che $f(x)$ nel mio caso è proprio 0,e l'ho minorato con $|1/(1+nx^2)|$ che mi tende sempre a zero. E' corretto?
Poi mi chiede di discuterne il passaggio sotto il segno di derivata,ma per il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata (dato che le $f_n$ sono derivabili in tutto R e ivi convergono a zero) ho che il limite della successione derivata converge alla funzione derivata! Giusto?
Grazie in anticipo!
Risposte
Per dimostrare la convergenza uniforme, potresti utilizzare il seguente risultato:
$|x/(1+nx^2)|<=1/2sqrt(1/n)$
$|x/(1+nx^2)|<=1/2sqrt(1/n)$
Certo! Mi piacerebbe dimostrarlo! Qualche suggerimento?
Basta svolgere un veloce studio di funzione.
Per studiare la convergenza uniforme di una serie di solito la tecnica che si usa è quella di fissare $n in NN$ e studiare $f'_n(x)$. Basta che ti rifai al teorema $f_n->^uf <=>$ sup$|f_n(x)-f(x)||->0 , (n->+oo)$. Dato che tu hai detto che $f_n->0$ puntualmente allora non ti resta che studiare la quantità sup$|f_n(x)|$, e lo puoi fare tramite la derivata prima.
Grazie ragazzi! 
Per quanto già detto in precedenza : sul tuo quaderno ci sono le soluzioni !
Ripetitivo! 
Monotono , come diresti tu
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