Dubbi su una funzione e su altro

[Lamar0730]

Faccio tre domande sulla seguente funzione.

[tex]e^{\frac{-1}{x^{2}}}[/tex]

Il punto "x=0" appartiene al dominio di tale funzione ?

Tale funzione è continua nel punto "x=0" ?

Tale funzione è derivabile nel punto "x=0" ?

Inoltre faccio la seguente domanda.

Una qualsiasi funzione si definisce di classe C-INFINITO quando è derivabile tante volte quante si vuole, in tutti i punti del suo dominio oppure quando è derivabile tante volte quante si vuole, in uno o più punti del suo dominio ?

[@melia]

Il dominio della funzione è $RR-{0}$, in $0$ la funzione non esiste, ma $0$ è un punto di discontinuità eliminabile perché esiste finito il limite per $x->0$, infatti $lim_(x->0) e^(-1/x^2)=0$, la funzione è prolungabile per continuità

$f(x)={(e^(-1/x^2),if x in RR-{0}),(0,if x=0):}$

La funzione così definita è continua in $0$

Con un po' di calcoli con i rapporti incrementali trovi che la funzione prolungata per continuità è anche derivabile su tutto $RR$.

Una funzione è $C^oo$ quando è derivabile con derivata continua in tutti i punti del dominio, oppure se lo è solo in un intervallo $A$ sottoinsieme del dominio allora è $C^oo(A)$

[Lamar0730]

Grazie