Dubbi su una definizione
Scusate ho un dubbio su una definizione su una soluzione approssimata delle equazioni differenziali.
Userò la notazione $y^{\delta}$ per indicare in generale un intorno di $y$ con raggio $\delta$.
Definizione 1
$y(t)$ è una soluzione approssimata del problema $\dot{x} = f(t,x(t))$, se
$$ |\dot{y} (t) - f(t,z(t))| < \delta \qquad |z(t) - y(t)| < \delta. $$
Possiamo riscrivere questa definizione in forma più compatta in questo modo:
$$y(t) \in [f(t,y(t)^{\delta}]^{\delta}$$
Tuttavia possiamo estendere questa definizione, con una definizione un po' più forte.
Definizione 2
$y(t)$ è una soluzione approssimata del problema $\dot{x} = f(t,x(t))$, secondo questa definizione se
$$y(t) \in [f(t^{\delta},y(t)^{\delta}]^{\delta}.$$
La domanda è: Come posso scrivere in forma meno compatta la Definizione 2?
Definizione 1 $\iff |\dot{y} (t) - f(t,z(t))| < \delta \qquad |z(t) - y(t)| < \delta.$
Definizione 2 ??????????????
Userò la notazione $y^{\delta}$ per indicare in generale un intorno di $y$ con raggio $\delta$.
Definizione 1
$y(t)$ è una soluzione approssimata del problema $\dot{x} = f(t,x(t))$, se
$$ |\dot{y} (t) - f(t,z(t))| < \delta \qquad |z(t) - y(t)| < \delta. $$
Possiamo riscrivere questa definizione in forma più compatta in questo modo:
$$y(t) \in [f(t,y(t)^{\delta}]^{\delta}$$
Tuttavia possiamo estendere questa definizione, con una definizione un po' più forte.
Definizione 2
$y(t)$ è una soluzione approssimata del problema $\dot{x} = f(t,x(t))$, secondo questa definizione se
$$y(t) \in [f(t^{\delta},y(t)^{\delta}]^{\delta}.$$
La domanda è: Come posso scrivere in forma meno compatta la Definizione 2?
Definizione 1 $\iff |\dot{y} (t) - f(t,z(t))| < \delta \qquad |z(t) - y(t)| < \delta.$
Definizione 2 ??????????????
Risposte
Ciao, provo a dirti cosa ho capito io, magari ti torna utile. Non sono familiare con le notazioni che hai usato, quindi sei il benvenuto a farmi notare errori di interpretazione.
Per cominciare, mi sembra che le definizioni assumano che l'equazione differenziale abbia soluzione. Io lo assumerò da qui in poi. Del resto, se non esiste neanche una soluzione all'equazione differenziale, che senso ha parlare di approssimarne una?
Io scriverei così la def 1: $ y(t) $ è una soluzione approssimata del problema $ \dot{x} = f(t,x(t)) $ se $AA epsilon > 0 EE delta = delta(epsilon) > 0 text( t.c. ) |dot y (t) - f(t,x(t))| < epsilon text( implica ) |y(t) - x(t)| < delta text(, )$.
Il che significa: quando la derivata temporale della soluzione approssimata si avvicina arbitrariamente alla derivata della soluzione esatta, ovvero alla $f(t,x(t))$, allora la soluzione approssimata si avvicina alla soluzione esatta in modo, a priori, dipendente da come le due derivate si sono avvicinate (da cui la dipendenza di $delta$ da $epsilon$).
Nota che non è specificato per quali t queste disuguaglianze debbano valere, e questo è il passo che distingue le due definizioni. Immagino si sottintenda che t possa variare a piacere purché non crei problemi di esistenza e derivabilità alla x(t). Diciamo quindi che $t in D sub RR$, dove D è un dominio nel quale x esista e sia derivabile (e quindi è garantita anche l'esistenza di f).
La forma compatta secondo me è poco chiara, comunque credo sia in realtà questa: $y(t)$ è soluzione approssimata se $dot(y)(t) in [f(t,y(t)^delta)^epsilon] $
se la leggi da dentro, ovvero da $ y(t)^delta $, ritrovi lo stesso concetto della notazione "estesa".
La def 2 sembra aggiungere condizioni sul dominio D. In pratica chiede che t vari non in tutto D ma in un intorno di raggio $delta$ (sempre $delta$?) di un qualche centro "accettabile". Quindi stesso concetto ma la soluzione approssimata stavolta vive in un intorno piccolo a piacere di un punto speciale, magari di un dato iniziale $t_0 text( t.c. ) y(t_0) = y_0$ che crea quindi un problema di Cauchy. Mi sembra quindi che la def 1 sia globale, mentre la def 2 locale, ma che per il resto siano uguali.
Fammi sapere cosa ne pensi delle mie speculazioni.
Per cominciare, mi sembra che le definizioni assumano che l'equazione differenziale abbia soluzione. Io lo assumerò da qui in poi. Del resto, se non esiste neanche una soluzione all'equazione differenziale, che senso ha parlare di approssimarne una?
Io scriverei così la def 1: $ y(t) $ è una soluzione approssimata del problema $ \dot{x} = f(t,x(t)) $ se $AA epsilon > 0 EE delta = delta(epsilon) > 0 text( t.c. ) |dot y (t) - f(t,x(t))| < epsilon text( implica ) |y(t) - x(t)| < delta text(, )$.
Il che significa: quando la derivata temporale della soluzione approssimata si avvicina arbitrariamente alla derivata della soluzione esatta, ovvero alla $f(t,x(t))$, allora la soluzione approssimata si avvicina alla soluzione esatta in modo, a priori, dipendente da come le due derivate si sono avvicinate (da cui la dipendenza di $delta$ da $epsilon$).
Nota che non è specificato per quali t queste disuguaglianze debbano valere, e questo è il passo che distingue le due definizioni. Immagino si sottintenda che t possa variare a piacere purché non crei problemi di esistenza e derivabilità alla x(t). Diciamo quindi che $t in D sub RR$, dove D è un dominio nel quale x esista e sia derivabile (e quindi è garantita anche l'esistenza di f).
La forma compatta secondo me è poco chiara, comunque credo sia in realtà questa: $y(t)$ è soluzione approssimata se $dot(y)(t) in [f(t,y(t)^delta)^epsilon] $
se la leggi da dentro, ovvero da $ y(t)^delta $, ritrovi lo stesso concetto della notazione "estesa".
La def 2 sembra aggiungere condizioni sul dominio D. In pratica chiede che t vari non in tutto D ma in un intorno di raggio $delta$ (sempre $delta$?) di un qualche centro "accettabile". Quindi stesso concetto ma la soluzione approssimata stavolta vive in un intorno piccolo a piacere di un punto speciale, magari di un dato iniziale $t_0 text( t.c. ) y(t_0) = y_0$ che crea quindi un problema di Cauchy. Mi sembra quindi che la def 1 sia globale, mentre la def 2 locale, ma che per il resto siano uguali.
Fammi sapere cosa ne pensi delle mie speculazioni.
Si credo anche io sia così. Grazie comunque. Mi servivano queste due definizioni perché dovevo dimostrare alcune cose su di un libro, ma alla fine ho risolto.
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