Dubbi su un limite..
Salve,
premetto che i limiti per me sono una stanza oscura senza un filo di luce! Sto cercando, per l'ennesima volta (studente di architettura, 6 anno alle prese con matematica 1) di capirci qualcosa ma non mi sembra di riuscire a venirne a capo!
Dunque.. uno dei tanti dubbi che non riesco a chiarire è il seguente:
$\lim_{x \to \0} (senx)$
nelle dispense del professore viene risolto con $\lim_{(x) \to \(0)} (senx)=1$ ma io non riesco a capire il perché! il sen0 = 0 non 1... uff.... spero che ci sia qualcuno, di buona volontà e con tanta pazienza, che riesca a chiarirmi questo dubbio
grazie
premetto che i limiti per me sono una stanza oscura senza un filo di luce! Sto cercando, per l'ennesima volta (studente di architettura, 6 anno alle prese con matematica 1) di capirci qualcosa ma non mi sembra di riuscire a venirne a capo!
Dunque.. uno dei tanti dubbi che non riesco a chiarire è il seguente:
$\lim_{x \to \0} (senx)$
nelle dispense del professore viene risolto con $\lim_{(x) \to \(0)} (senx)=1$ ma io non riesco a capire il perché! il sen0 = 0 non 1... uff.... spero che ci sia qualcuno, di buona volontà e con tanta pazienza, che riesca a chiarirmi questo dubbio
grazie
Risposte
Infatti [tex]$\lim_{x \to 0} \sin x=0$[/tex]. E questo si dimostra indipendentemente* dal fatto che [tex]$\sin 0=0$[/tex]. Notando quest'ultimo fatto, puoi invece vedere (dopo aver calcolato il limite) che [tex]$\lim_{x \to 0} \sin x=\sin 0$[/tex], da cui deduci che la funzione è continua in quel punto.
* [tex]$0 \leq |\sin x|=\sin{|x|} \leq |x|$[/tex], da cui applicando il teorema dei carabinieri,...
* [tex]$0 \leq |\sin x|=\sin{|x|} \leq |x|$[/tex], da cui applicando il teorema dei carabinieri,...
posto anche un esempio per rendere meglio l'idea:
$\lim_{x \to \+infty} xsen(1/x)$
Dunque... il procedimento scritto è il seguente:
$\lim_{x \to \+infty} xsen(1/x)$ = $\lim_{x \to \+infty} (sen(1/x))/(1/x)$
Si osserva che il $\lim_{x \to \+infty} 1/x = 0$ Quindi, posto $y=1/x$ si ha
$\lim_{x \to \+infty} xsen(1/x)$ = $\lim_{x \to \+infty} (sen(1/x))/(1/x)$ = $\lim_{y \to \0} (seny)/(y) =1$
I miei dubbi sono:
a) perché $\lim_{y \to \0} (seny)/(y) =1$ ????????? viene 0/0 e non capisco perché possa fare 1...
$\lim_{x \to \+infty} xsen(1/x)$
Dunque... il procedimento scritto è il seguente:
$\lim_{x \to \+infty} xsen(1/x)$ = $\lim_{x \to \+infty} (sen(1/x))/(1/x)$
Si osserva che il $\lim_{x \to \+infty} 1/x = 0$ Quindi, posto $y=1/x$ si ha
$\lim_{x \to \+infty} xsen(1/x)$ = $\lim_{x \to \+infty} (sen(1/x))/(1/x)$ = $\lim_{y \to \0} (seny)/(y) =1$
I miei dubbi sono:
a) perché $\lim_{y \to \0} (seny)/(y) =1$ ????????? viene 0/0 e non capisco perché possa fare 1...
Ah ma questo è un altro limite! E' uno dei più noti limiti notevoli! Consulta un qualsiasi testo di analisi1 per trovare la dimostrazione (c'è anche in alcuni di liceo). La troverai sicuramente anche su internet.
In ogni caso, il limite del numeratore fa $0$, il limite del denominatore fa $0$, quindi le ipotesi del teorema del limite del quoziente non sono verificate, non puoi applicarlo! (Infatti, non ti sorge anche il dubbio che 0/0 abbia poco senso?
) E' una forma indeterminata, quindi devi risolverla con altri mezzi. In questo caso particolare è un limite notevole, come già ti ho detto 
In ogni caso, il limite del numeratore fa $0$, il limite del denominatore fa $0$, quindi le ipotesi del teorema del limite del quoziente non sono verificate, non puoi applicarlo! (Infatti, non ti sorge anche il dubbio che 0/0 abbia poco senso?
) E' una forma indeterminata, quindi devi risolverla con altri mezzi. In questo caso particolare è un limite notevole, come già ti ho detto
mmm... ok... grazie mille per l'aiuto!!
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