Dubbi su studio di funzione
ciao a tutti, oggi svolgendo no studio di funzione mi ono reso conto di avere alcuni dubbi, che vi sottopongo sperando che possiate aiutarmi a chiarirli
Mi viene richiesto un grafico qualitativo della seguente funzione e di stabilire poi per quali valori di q ho un minimo relativo in x=3.
$ f_g (x) = \{((4-x)/(x-1), x \in (-infty, 1) uu (1,3)),(2x +q , x \in [3,+infty)):}$
Per quanto riguarda il dominio non vi sono problemi.
Faccio i limiti agli estremi
$\lim_{x \to \+infty} f(x) = +infty $
$\lim_{x \to \-infty} f(x) = -1 $
$\lim_{x \to \1+} f(x) = +infty $
$\lim_{x \to \1-} f(x) = -infty $
$\lim_{x \to \3-} f(x) = 1/2 $
Zeri
f(0) = -4
$ f_q (x) = 0 iff \{((4-x)/(x-1) = 0, x \in (-infty, 1) uu (1,3)),(2x +q =0, x \in [3,+infty)):} iff \{(x=4, x \in (-infty, 1) uu (1,3)),(x= -q/2, x \in [3,+infty)):}$
Ecco ora io farei già un grafico qualitativo della mia f(x)
http://postimg.org/image/6eyumyrgn/
Da cui deduco che vi può essere in $x_0 = 3$ un minimo relativo se e solo se l'immagine di $x_0 = 3$ è minimo relativo della mia funzione nell'intorno $(3-b , 3+b)$. Seguendo questo ragionamento determino q nel seguente modo
$ 6 + q <= 1/2 iff q <= - 11/2 $
voi che dite?
ecco per quanto riguarda lo svolgimento "completo" di uno studio di funzione, vi mostro come andrei avanti io, prendendo ad esempio questa funzione, così da segnalare i miei dubbi nei vari passaggi
Studio del segno della derivata
In questo caso noto che
$(f_q)' (x)= \{((-2)/((x-1)^2), x \in (-infty, 1) uu (1,3)),(2 , x \in [3,+infty)):}$
dove osservo che la mia derivata è sempre minore di zero in $(-infty, 1) uu (1,3)$ e quindi la mia funzione è decrescente nei rispettivi intervalli. Ragionando allo stesso modo noto che la mia funzione è sempre crescente per $x \in [3,+infty)$
Flessi
ecco qui non so come procedere. Io so che devo calcolare la derivata seconda, ma poi come procedo?
Asintoti
io conosco due metodi differenti per calcolare gli asintoti di una funzione. Li elenco qui di seguito, sul primo non ho dubbi, sul secondo invece si( ho già espresso le mie perplessità in un altro post, dove purtroppo non sono state chiarite, ne approfitto e scrivo qui il link
viewtopic.php?f=36&t=127977&p=823039#p823039
se qualcuno ha la pazienza di andare a vedere mi sarebbe davvero di grande aiuto)Comunque:
Metodo 1)
$\lim_{x \to \infty}(f(x))/x = m$
se esiste finito allora
$\lim_{ \to \infty} f(x) - mx =q $
da cui ho l'equazione.
Metodo 2)
Sia data $ f(x) $ , essa ammette asintoto obliquo di equazione $ y= mx + q $ per $ x \to \infty $ (+ o - infinito) se:
$ f(x) = mx + q + o(1) $ $ , $ $ x \to \infty $ (+ o - infinito)
(per quanto riguarda gli asintoti, non è un grandissimo problema, perchè sul primo metodo non ho dubbi, era solo per chiarire eventualmente il secondo metodo)
ringrazio in anticipo tutti quanti per l'aiuto e la disponibilità!
Mi viene richiesto un grafico qualitativo della seguente funzione e di stabilire poi per quali valori di q ho un minimo relativo in x=3.
$ f_g (x) = \{((4-x)/(x-1), x \in (-infty, 1) uu (1,3)),(2x +q , x \in [3,+infty)):}$
Per quanto riguarda il dominio non vi sono problemi.
Faccio i limiti agli estremi
$\lim_{x \to \+infty} f(x) = +infty $
$\lim_{x \to \-infty} f(x) = -1 $
$\lim_{x \to \1+} f(x) = +infty $
$\lim_{x \to \1-} f(x) = -infty $
$\lim_{x \to \3-} f(x) = 1/2 $
Zeri
f(0) = -4
$ f_q (x) = 0 iff \{((4-x)/(x-1) = 0, x \in (-infty, 1) uu (1,3)),(2x +q =0, x \in [3,+infty)):} iff \{(x=4, x \in (-infty, 1) uu (1,3)),(x= -q/2, x \in [3,+infty)):}$
Ecco ora io farei già un grafico qualitativo della mia f(x)
http://postimg.org/image/6eyumyrgn/
Da cui deduco che vi può essere in $x_0 = 3$ un minimo relativo se e solo se l'immagine di $x_0 = 3$ è minimo relativo della mia funzione nell'intorno $(3-b , 3+b)$. Seguendo questo ragionamento determino q nel seguente modo
$ 6 + q <= 1/2 iff q <= - 11/2 $
voi che dite?
ecco per quanto riguarda lo svolgimento "completo" di uno studio di funzione, vi mostro come andrei avanti io, prendendo ad esempio questa funzione, così da segnalare i miei dubbi nei vari passaggi
Studio del segno della derivata
In questo caso noto che
$(f_q)' (x)= \{((-2)/((x-1)^2), x \in (-infty, 1) uu (1,3)),(2 , x \in [3,+infty)):}$
dove osservo che la mia derivata è sempre minore di zero in $(-infty, 1) uu (1,3)$ e quindi la mia funzione è decrescente nei rispettivi intervalli. Ragionando allo stesso modo noto che la mia funzione è sempre crescente per $x \in [3,+infty)$
Flessi
ecco qui non so come procedere. Io so che devo calcolare la derivata seconda, ma poi come procedo?
Asintoti
io conosco due metodi differenti per calcolare gli asintoti di una funzione. Li elenco qui di seguito, sul primo non ho dubbi, sul secondo invece si( ho già espresso le mie perplessità in un altro post, dove purtroppo non sono state chiarite, ne approfitto e scrivo qui il link
viewtopic.php?f=36&t=127977&p=823039#p823039
se qualcuno ha la pazienza di andare a vedere mi sarebbe davvero di grande aiuto)Comunque:
Metodo 1)
$\lim_{x \to \infty}(f(x))/x = m$
se esiste finito allora
$\lim_{ \to \infty} f(x) - mx =q $
da cui ho l'equazione.
Metodo 2)
Sia data $ f(x) $ , essa ammette asintoto obliquo di equazione $ y= mx + q $ per $ x \to \infty $ (+ o - infinito) se:
$ f(x) = mx + q + o(1) $ $ , $ $ x \to \infty $ (+ o - infinito)
(per quanto riguarda gli asintoti, non è un grandissimo problema, perchè sul primo metodo non ho dubbi, era solo per chiarire eventualmente il secondo metodo)
ringrazio in anticipo tutti quanti per l'aiuto e la disponibilità!
Risposte
Premetto che se non ricevi risposte da più di un giorno puoi "bumpare" un argomento (c'è un tasto che si chiama bump) in modo da farlo salire di livello e da non perderlo nella polvere del tempo.
Ovviamente, da regolamento, un bump al giorno (max) altrimenti sono tirate d'orecchie.
Premetto anche che non ho risposto al tuo thread sulla formula di Taylor perché dopo molte pagine di calcoli faccio sempre un casino e non arrivo da nessuna parte... lo so che è triste, ma io e i calcoli siamo due cose piuttosto lontane.
Per il resto - non quoto perché è molto - il tuo discorso è interessante anche se abbastanza prolisso ma fondamentalmente mi sembra corretto. Guarda, riassumo a parole mie (magari però finisco per dire quello che avrei fatto, correggimi se ti sembra così!).
- $f(x)$ è sempre decrescente per $x<3$. C'è un punto di discontinuità in $1$, ma siccome ci interessa un massimo relativo, per $(3-\delta,3)$, con $\delta >0$ opportuno, la funzione è decrescente, derivabile e, comunque, non dà problemi.
- $f(x)$ è crescente per $x>3$. Anche qui ci interessa un intorno, ma alla fine è definitivamente crescente quindi non occorre necessariamente restringersi.
Basta, quindi, che $f(3)\le lim_(x->3^-) f(x)$ ed è quello che hai fatto trovando un valore per $q$.
Passando oltre, per quanto riguarda i flessi, ce ne sono di 2 tipi.
1. Flessi a tangente orizzontale.
In pratica punti che non sono né di massimo né di minimo ma con $f'(x)=0$. Si "sgamano" facile perché prima del punto incriminato e dopo $f'$ mantiene lo stesso segno.
Un esempio è $f(x)=x^3$ per $x=0$.
2. Flessi a tangente obliqua.
In pratica dove cambia la concavità. Basta porre $f''(x)=0$ e in quei punti ottieni automaticamente i punti di flesso a tangente obliqua ammesso che prima e dopo il punto incriminato la derivata seconda cambi di segno.
Per quanto riguarda gli asintoti devo dire che è la prima volta che sento parlare del secondo metodo ma a prima vista mi sembra equivalente al primo. Però ci penso su e, in generale, aspetta altre risposte.
Ovviamente, da regolamento, un bump al giorno (max) altrimenti sono tirate d'orecchie.
Premetto anche che non ho risposto al tuo thread sulla formula di Taylor perché dopo molte pagine di calcoli faccio sempre un casino e non arrivo da nessuna parte... lo so che è triste, ma io e i calcoli siamo due cose piuttosto lontane.
Per il resto - non quoto perché è molto - il tuo discorso è interessante anche se abbastanza prolisso ma fondamentalmente mi sembra corretto. Guarda, riassumo a parole mie (magari però finisco per dire quello che avrei fatto, correggimi se ti sembra così!).
- $f(x)$ è sempre decrescente per $x<3$. C'è un punto di discontinuità in $1$, ma siccome ci interessa un massimo relativo, per $(3-\delta,3)$, con $\delta >0$ opportuno, la funzione è decrescente, derivabile e, comunque, non dà problemi.
- $f(x)$ è crescente per $x>3$. Anche qui ci interessa un intorno, ma alla fine è definitivamente crescente quindi non occorre necessariamente restringersi.
Basta, quindi, che $f(3)\le lim_(x->3^-) f(x)$ ed è quello che hai fatto trovando un valore per $q$.
Passando oltre, per quanto riguarda i flessi, ce ne sono di 2 tipi.
1. Flessi a tangente orizzontale.
In pratica punti che non sono né di massimo né di minimo ma con $f'(x)=0$. Si "sgamano" facile perché prima del punto incriminato e dopo $f'$ mantiene lo stesso segno.
Un esempio è $f(x)=x^3$ per $x=0$.
2. Flessi a tangente obliqua.
In pratica dove cambia la concavità. Basta porre $f''(x)=0$ e in quei punti ottieni automaticamente i punti di flesso a tangente obliqua ammesso che prima e dopo il punto incriminato la derivata seconda cambi di segno.
Per quanto riguarda gli asintoti devo dire che è la prima volta che sento parlare del secondo metodo ma a prima vista mi sembra equivalente al primo. Però ci penso su e, in generale, aspetta altre risposte.
Ciao Zero87 grazie mille per il chiarimento sui flessi e per la conferma sullo svolgimento dell'esercizio! E grazie anche per avermi detto del "bump" non lo sapevo!
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