Dubbi su spazi spazi normati e spazi di Banach

[nato_pigro1]

Perchè $\hat L^1(\mu,F)$, che è come indico le funzioni in $F$ che hanno misura di lebesgue finita non è uno spazio di Banch si $F$
mentre $L^1(\mu,F)$ che definisco come $\hat L^1(\mi,F)$ quozientato per l'insieme delle funzioni $f=0 q.o.$ lo è?
(dove $F$ è $RR$ o $CC$ e $\hat L$ sarebbe un "L" corsivo come credo si usi...)

Ho capito che in $\hat L^1$ la funzione $p(f)=int_(T) |f| d\mu $ è una seminorma mentre su $L$ è una norma, ma non trovo un esempio di successione di Cauchy non convergente in $\hat L^1$.


Come si definisce il concetto di continuità in uno spazio normato $(X,||_X)$?
$AA\epsilon>0 EE \delta_(\epsilon)>0 : |x-x_0|_X<\delta_(\epsilon) => |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ oppure $=> |f(x)-f(x_0)|_X<\epsilon$
non mi è ben chiaro...

[Rigel1]

Non è che si capisca perfettamente quello che scrivi, comunque:
per lo spazio $\hat L^1$ il problema non sta nella completezza, ma nel fatto che non è nemmeno uno spazio normato.
Come giustamente osservi, $p(f)$ è una seminorma; a differenza di una norma, non vale la proprietà di annullamento.
Per fare un esempio, se consideri $\hat L^1(\mathbb{R})$ con la misura di Lebesgue, hai che la funzione $f$ che vale $1$ sui razionali e $0$ sugli irrazionali non è nulla, e tuttavia $p(f) = 0$.

Riguardo la seconda domanda, se $f: X\to Y$, nella definizione di continuità avrai $|f(x)-f(x_0)|_Y < \epsilon$.