Dubbi su serie di funzioni e serie di potenze

[grayfox1]

Salve a tutti sono un nuovo utente che si sta cimentando nella risuluzione di queste per me dannate serie. Ho iniziato con qualche esercizio semplice e volevo avere un vostro parere sulla risoluzione di questo problema:

$\sum_{n=1}^infty ((e^(1/n)-1)/n)x^n$

E' una serie di potenze con centro in 0.
Calcolo il raggio di convergenza:

$\lim_{n \to \infty}((e^(1/n)-1)/n)^(1/n)=1$

Quindi c'è convergenza assoluta in ]-1,1[ e convergenza totale in [-k,k] con 0
Per x=1 si ha:

$\sum_{n=1}^infty ((e^(1/n)-1)/n)$

La confronta con la serie armonica che diverge quindi anche la serie diverge.

Per x=-1 si ha:


$\sum_{n=1}^infty ((e^(1/n)-1)/n)(-1)^n$

Poichè $a_(n+1)0$ per il teorema di Leibnitz la serie converge.

RIngrazio in anticipo chiunque mi possa aiutare.

[dan89-votailprof]

Scusami ma cosa dice il criterio del confronto asintotico?

Secondo me c'è qualcosa di sbagliato quando studi l'estremo 1....

[grayfox1]

Io sapevo che date due serie a termini positivi con $ a_n

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[dan89-votailprof]

"grayfox":Io sapevo che date due serie a termini positivi con $ a_n

No allora, la cosa che dici sul confronto è giusta. Cioè che avendo $ a_n C'entra appunto col confronto asintotico, che però non mi pare tu abbia usato.

Cioè se ho capito bene tu hai fatto una maggiorazione no? Ma come hai maggiorato? *-* Per dire che diverge dovresti dimostrare che il termine generale della tua serie è $>1/n$ Fammi capire cosa hai fatto

[grayfox1]

Non so per quale arcano motivo ma ero convinto che fissato n risultasse $((e^(1/n)-1)/n)>1/n$ e sono saltato subito alla conclusione da me proposta. Ora però non riesco ad imboccare la retta via!

edit: applicare il criterio degli infinitesimi e ricondurmi al limite notevole $lim_[x->0] (e^x-1)/x=1$ potrebbe essere la soluzione o sto ancora fantasticando?

[dan89-votailprof]

Io farei così. La serie è decrescente, applico il criterio di condensazione e studio la nuova serie:

$2^n*(e^(1/(2^n))-1)/2^n=e^(1/(2^n))-1$

Adesso applico il primo criterio del confronto, confrontando la nuova serie con $1/(2^n)$

$(e^(1/(2^n))-1)/(1/(2^n))->1$ [E' il limite notevole]

Il limite è finito, allora si può studiare la serie di termine generale $1/(2^n)$ che vedi facilmente convergere col criterio della radice.

Dimmi se ti torna

[grayfox1]

Non ricordo di aver sentito parlare di questo criterio ne risulta tra i miei appunti. L'ho visto su internet ed ho seguito il tuo ragionamento e sembra non fare una piega ! Ti ringrazio per il tempo che mi hai dedicato!

PS: la mia soluzione era errata giusto?

[dan89-votailprof]

Si perchè converge anche in 1.

In definitiva converge totalmente, e quindi anche assolutamente, puntualmente e uniformemente in $[-1, 1]

[grayfox1]

No intendevo questo mio ultimo ragionamento :

"grayfox":edit: applicare il criterio degli infinitesimi e ricondurmi al limite notevole $lim_[x->0] (e^x-1)/x=1$ potrebbe essere la soluzione o sto ancora fantasticando?

Grazie ancora dell'aiuto!