Dubbi su serie di confronto
Salve a tutti, ho un esercizio che mi chiede di studiare la convergenza delle seguenti due serie:
$ sum_{n=1}^(+infty) (1-cos(n^2))/(n^5e^(1/n) $
$ sum_{n=1}^(+infty) (e^(1/n)-cos(n^2))/n^5 $
Per quanto riguarda la prima, ho dedotto che sia convergente confrontandola con $ sum_{n=1}^(+infty) (1-cos^2n)/(n^5e^(1/n))<= 2sum_{n=1}^(+infty) (1/n^5) $ ragionando cioè sui valori che il coseno assume ad infinito e sul fatto che l'esponenziale tenda ad uno.
Per la seconda, invece, è corretto questo ragionamento?
$ sum_{n=1}^(+infty) (e^(1/n)-cos(n^2))/n^5 <= sum_{n=1}^(+infty) (e^(1/n)+1)/n^5 <= 2sum_{n=1}^(+infty) 1/n^5 $ Il dubbio principale è che mi sembra un po' strano che lo stesso esercizio proponga due serie la cui convergenza si "risolva" in maniera uguale. Sbaglio qualcosa? Grazie.
$ sum_{n=1}^(+infty) (1-cos(n^2))/(n^5e^(1/n) $
$ sum_{n=1}^(+infty) (e^(1/n)-cos(n^2))/n^5 $
Per quanto riguarda la prima, ho dedotto che sia convergente confrontandola con $ sum_{n=1}^(+infty) (1-cos^2n)/(n^5e^(1/n))<= 2sum_{n=1}^(+infty) (1/n^5) $ ragionando cioè sui valori che il coseno assume ad infinito e sul fatto che l'esponenziale tenda ad uno.
Per la seconda, invece, è corretto questo ragionamento?
$ sum_{n=1}^(+infty) (e^(1/n)-cos(n^2))/n^5 <= sum_{n=1}^(+infty) (e^(1/n)+1)/n^5 <= 2sum_{n=1}^(+infty) 1/n^5 $ Il dubbio principale è che mi sembra un po' strano che lo stesso esercizio proponga due serie la cui convergenza si "risolva" in maniera uguale. Sbaglio qualcosa? Grazie.
Risposte
Ciao pcnf16,
Le due serie proposte sono a termini positivi e convergenti.
Occhio che la prima serie proposta $ sum_{n=1}^(+infty) (1-cos(n^2))/(n^5e^(1/n) $ è diversa da quella che vedo in
ma immagino che vi sia un errore di battitura e la serie corretta sia la prima scritta.
Attenzione che non puoi usare le diseguaglianze mentre in realtà stai pensando alle stime asintotiche: decidi per l'una o l'altra cosa. E' però vero che $- 1 <= cos(n^2) <= 1 $ e $e^{1/n} > 1 $, per cui per la prima serie proposta si può scrivere
$ \sum_{n=1}^(+infty) (1-cos(n^2))/(n^5e^(1/n)) <= 2\sum_{n=1}^(+infty) 1/n^5 $
L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 5 > 1 $, notoriamente convergente.
Per quanto concerne la seconda serie proposta, toglierei e aggiungerei $1 $ al numeratore:
$ \sum_{n=1}^(+infty) (e^(1/n)-cos(n^2))/n^5 = \sum_{n=1}^(+infty) (e^(1/n) - 1 + 1 - cos(n^2))/n^5 = \sum_{n=1}^(+infty) (e^(1/n) - 1)/n^5 + \sum_{n=1}^(+infty) (1 - cos(n^2))/n^5 $
La seconda serie scritta converge per quanto già visto per la prima serie proposta, la prima anche converge perché per $n \to +\infty $ si ha [tex]e^{1/n} - 1 \sim \frac{1}{n}[/tex]
Le due serie proposte sono a termini positivi e convergenti.
Occhio che la prima serie proposta $ sum_{n=1}^(+infty) (1-cos(n^2))/(n^5e^(1/n) $ è diversa da quella che vedo in
"pcnf16":
$ sum_{n=1}^(+infty) (1-cos^2n)/(n^5e^(1/n)) <= 2sum_{n=1}^(+infty) (1/n^5) $
ma immagino che vi sia un errore di battitura e la serie corretta sia la prima scritta.
"pcnf16":
ragionando cioè sui valori che il coseno assume ad infinito e sul fatto che l'esponenziale tenda ad uno.
Attenzione che non puoi usare le diseguaglianze mentre in realtà stai pensando alle stime asintotiche: decidi per l'una o l'altra cosa. E' però vero che $- 1 <= cos(n^2) <= 1 $ e $e^{1/n} > 1 $, per cui per la prima serie proposta si può scrivere
$ \sum_{n=1}^(+infty) (1-cos(n^2))/(n^5e^(1/n)) <= 2\sum_{n=1}^(+infty) 1/n^5 $
L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 5 > 1 $, notoriamente convergente.
Per quanto concerne la seconda serie proposta, toglierei e aggiungerei $1 $ al numeratore:
$ \sum_{n=1}^(+infty) (e^(1/n)-cos(n^2))/n^5 = \sum_{n=1}^(+infty) (e^(1/n) - 1 + 1 - cos(n^2))/n^5 = \sum_{n=1}^(+infty) (e^(1/n) - 1)/n^5 + \sum_{n=1}^(+infty) (1 - cos(n^2))/n^5 $
La seconda serie scritta converge per quanto già visto per la prima serie proposta, la prima anche converge perché per $n \to +\infty $ si ha [tex]e^{1/n} - 1 \sim \frac{1}{n}[/tex]
Ciao pilloeffe, grazie per l'esaustiva risposta. Si, per quanto riguarda la prima serie, è corretta la primissima scrittura. Volevo aprire un altro topic, ma siccome farei riferimento sempre allo stesso argomento, ho deciso di continuare questo thread. Leggendo il mio manuale per chiarirmi meglio le idee, viene proposta questa serie.
$ sum_{n=1}^(+infty) 1/(n^2+1)sqrt(n/(4n-3)) $ che viene confrontata, senza esplicitare o spiegare eventuali passaggi intermedi con $ sum_{n=1}^(+infty) 1/(n^2) $ per studiarne la convergenza. Ora, io sarei anche d'accordo, tuttavia non capisco perché la radice viene "dimenticata". Non dovrei confrontarla con $ 1/2sum_{n=1}^(+infty) 1/(n^2) $ ? Mi rendo conto che ai fini della convergenza non cambia nulla, ma siccome ho svolto esercizi dove è richiesto ad esempio il calcolo di somme o somme approssimate, quel $ 1/2 $, anche se di poco andrebbe ad influenzare il risultato finale e quindi vorrei capire se non è stato considerato perché non rilevante per lo studio della convergenza o ci sono considerazioni particolari da fare sulla radice e non ho ben compreso come procedere. Grazie.
$ sum_{n=1}^(+infty) 1/(n^2+1)sqrt(n/(4n-3)) $ che viene confrontata, senza esplicitare o spiegare eventuali passaggi intermedi con $ sum_{n=1}^(+infty) 1/(n^2) $ per studiarne la convergenza. Ora, io sarei anche d'accordo, tuttavia non capisco perché la radice viene "dimenticata". Non dovrei confrontarla con $ 1/2sum_{n=1}^(+infty) 1/(n^2) $ ? Mi rendo conto che ai fini della convergenza non cambia nulla, ma siccome ho svolto esercizi dove è richiesto ad esempio il calcolo di somme o somme approssimate, quel $ 1/2 $, anche se di poco andrebbe ad influenzare il risultato finale e quindi vorrei capire se non è stato considerato perché non rilevante per lo studio della convergenza o ci sono considerazioni particolari da fare sulla radice e non ho ben compreso come procedere. Grazie.
È molto semplice: per ogni \(n\ge 1\),
\[
\sqrt{\frac{n}{4n-3}}\le 1, \]
mentre tu stai suggerendo che
\[\sqrt{\frac{n}{4n-3}}\le \frac12,\]
il che è falso (prendi \(n=1\) per rendertene conto).
\[
\sqrt{\frac{n}{4n-3}}\le 1, \]
mentre tu stai suggerendo che
\[\sqrt{\frac{n}{4n-3}}\le \frac12,\]
il che è falso (prendi \(n=1\) per rendertene conto).
Grazie mille!
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