Dubbi su serie
Ciao a tutti! Io e un mio collega abbiamo ripreso gli studi di analisi 1 e ci stiamo concentrando sulle serie.
In particolare questa serie: $\sum_{n=1}^(+\infty) (n^2 + sin^3(n))/(n + 2^n)$
Come determinare in modo efficace il carattere di questa serie?
Abbiamo provato con il criterio del confronto, tramite la serie armonica generalizzata con esponente $\alpha = -1$, poi abbiamo effettuato una sostituzione con $x$ ed abbiamo ottenuto la divergenza della serie.
Grazie anticipatamente a chi risponderà.
Ciao!
In particolare questa serie: $\sum_{n=1}^(+\infty) (n^2 + sin^3(n))/(n + 2^n)$
Come determinare in modo efficace il carattere di questa serie?
Abbiamo provato con il criterio del confronto, tramite la serie armonica generalizzata con esponente $\alpha = -1$, poi abbiamo effettuato una sostituzione con $x$ ed abbiamo ottenuto la divergenza della serie.
Grazie anticipatamente a chi risponderà.
Ciao!
Risposte
Non ci siamo proprio.
Provate a stabilire se la successione degli addendi è un infinitesimo e, in tal caso, cercate di determinarne anche l'ordine.
Provate a stabilire se la successione degli addendi è un infinitesimo e, in tal caso, cercate di determinarne anche l'ordine.
vediamo un pò mi intrometto anche io dato che tra una settimana ho esame di analisi 1.Dunque mettendo in evidenzia nella serie data:
$sum_{n=1}^oo (n^2(1+(sin^3n)/n^2))/(2^n(n/2^n+1))$
ora il termine $(1+(sin^3n)/n^2)/(n/2^n+1)$ tenda a $1$ per $n to oo$ quindi non da contributo all'infinitesimo dunque il fattore che fa tendere la succesione a $0$ è $n^2/2^n$. a questo punto diciamo che l'infinito al numeratore ha ordine $2$ mentre quello al denominatore è superiore a qualsiasi ordine prestabilito. Ma la domanda mi sorge spontanea.Qual'è allora l'ordine di infinitesimo a questo punto? Sarà mica $n$?
$sum_{n=1}^oo (n^2(1+(sin^3n)/n^2))/(2^n(n/2^n+1))$
ora il termine $(1+(sin^3n)/n^2)/(n/2^n+1)$ tenda a $1$ per $n to oo$ quindi non da contributo all'infinitesimo dunque il fattore che fa tendere la succesione a $0$ è $n^2/2^n$. a questo punto diciamo che l'infinito al numeratore ha ordine $2$ mentre quello al denominatore è superiore a qualsiasi ordine prestabilito. Ma la domanda mi sorge spontanea.Qual'è allora l'ordine di infinitesimo a questo punto? Sarà mica $n$?
Grazie Gugo82 e mazzy89 per i vostri suggerimenti. Ora abbiamo capito meglio come affrontare questa serie.
Alcune domande, forse perchè non abbiamo tanto le idee chiare a proposito, sorgono spontanee:
Dobbiamo sempre affidarci al concetto di infitesimo quando esaminiamo una serie?
In questo modo lo studio della serie è semplificato?
Sappiamo quando una funzione è infinitesima o una successione è infinitesima, ma come determinare in modo preciso l'ordine degli infinitesimi?
Dato che il nostro professore usa gli o piccolo e/o le maggiorazioni con altre serie conosciute, o ancora gli sviluppi di Taylor, quando è possibile usare con certezza questi accorgimenti per studiare in modo meno complicato il carattere di una serie?
Purtroppo, nel nostro corso tutto questo non è scritto nel libro (non so per quale motivo) e il professore ne fa un piccolo accenno durante lo studio di alcuni esercizi svolti. Trovo però che certi argomenti, come l'o piccolo, o lo studio degli infinitesimi, debbano essere inclusi nel libro ed essere spiegati in modo conciso. In questo modo si finisce sempre per studiare l'Analisi sempre in modo meccanico senza capirla veramente.
Grazie ancora e ciao!
Alcune domande, forse perchè non abbiamo tanto le idee chiare a proposito, sorgono spontanee:
Dobbiamo sempre affidarci al concetto di infitesimo quando esaminiamo una serie?
In questo modo lo studio della serie è semplificato?
Sappiamo quando una funzione è infinitesima o una successione è infinitesima, ma come determinare in modo preciso l'ordine degli infinitesimi?
Dato che il nostro professore usa gli o piccolo e/o le maggiorazioni con altre serie conosciute, o ancora gli sviluppi di Taylor, quando è possibile usare con certezza questi accorgimenti per studiare in modo meno complicato il carattere di una serie?
Purtroppo, nel nostro corso tutto questo non è scritto nel libro (non so per quale motivo) e il professore ne fa un piccolo accenno durante lo studio di alcuni esercizi svolti. Trovo però che certi argomenti, come l'o piccolo, o lo studio degli infinitesimi, debbano essere inclusi nel libro ed essere spiegati in modo conciso. In questo modo si finisce sempre per studiare l'Analisi sempre in modo meccanico senza capirla veramente.
Grazie ancora e ciao!
"Albertus16":
Grazie Gugo82 e mazzy89 per i vostri suggerimenti. Ora abbiamo capito meglio come affrontare questa serie.
Alcune domande, forse perchè non abbiamo tanto le idee chiare a proposito, sorgono spontanee:
Dobbiamo sempre affidarci al concetto di infitesimo quando esaminiamo una serie?
In questo modo lo studio della serie è semplificato?
Sappiamo quando una funzione è infinitesima o una successione è infinitesima, ma come determinare in modo preciso l'ordine degli infinitesimi?
Dato che il nostro professore usa gli o piccolo e/o le maggiorazioni con altre serie conosciute, o ancora gli sviluppi di Taylor, quando è possibile usare con certezza questi accorgimenti per studiare in modo meno complicato il carattere di una serie?
Purtroppo, nel nostro corso tutto questo non è scritto nel libro (non so per quale motivo) e il professore ne fa un piccolo accenno durante lo studio di alcuni esercizi svolti. Trovo però che certi argomenti, come l'o piccolo, o lo studio degli infinitesimi, debbano essere inclusi nel libro ed essere spiegati in modo conciso. In questo modo si finisce sempre per studiare l'Analisi sempre in modo meccanico senza capirla veramente.
Grazie ancora e ciao!
Be sempre mi sembra un pò eccessivo. Diciamo che è una strada preferebile non appena si presenta una serie come quella presentata da te.Affidandoci al concetto di infinitesimo la serie è semplificata. Prendi per esempio la seguente serie:
$sum_{n=1}^oo n^sine/(n^4-logn)$
Qui risulta molto utile far uso del concetto di ordine di infinitesimo. vediamo come:
$sum_{n=1}^oo n^sine/n^4*1/(1-logn/n^4)$e
ora il termine $1/(1-logn/n^4)$ $to$ $1$ a tendere $n to oo$ quindi non da nessun contributo all'infinitesimo. Adesso consideriamo $n^sine/n^4$. l'ordine di infinitesimo è: $4-sine$.
Ora sappiamo che $-1<=sine<=1$ e quindi sommando $4$ si ha $3<=4-sine<=5$ A questo punto possiamo confrontare $n^sine/(n^4-logn)$ con $1/n^3$ che come sappiamo converge
"mazzy89":
Ma la domanda mi sorge spontanea.Qual'è allora l'ordine di infinitesimo a questo punto? Sarà mica $n$?
Scusate ma di questa serie se ne era già discusso nel post "carattere serie numerica" del 26.08
"Marco512":
Scusate ma di questa serie se ne era già discusso nel post "carattere serie numerica" del 26.08
Eh già hai proprio ragione.Però vorrei fare una piccola precisazione. In questo post si sta arrivando alla soluzione dellas serie per via diversa da quella giunta nel post da te menzionato
@Marco512: Ho visto il topic da te segnalato e la serie è proprio quella di cui abbiamo parlato finora. Non mi sono messo a ricercare argomenti simili e/o uguali.
Comunque la serie è stata risolta in modo diverso, in modo da capire meglio alcuni concetti che non avevamo chiari.
@Mazzy89: Grazie per l'esempio. Ora è chiaro. Un'ultima cosa però. Nell'esempio da te riportato, scrivi: "Ora sappiamo che $-1<=sine<=1$ e quindi sommando $4$ si ha $3<=4-sine<=5$. A questo punto possiamo confrontare $(n^(sine))/(n^4 -logn)$ con $1/n^3$ che come sappiamo converge." Non capisco questo tuo ultimo passaggio. Perchè confrontare con con $1/n^3$?? Potevo confrontare anche con $1/n^5$, come hai scritto, la quale converge lo stesso?
Riguardo alla tua domanda sull'ordine di infinitesimo di $2^n$, credo proprio che quella da te suggerita, cioè che l'ordine sia $n$, sia proprio la risposta esatta. Quindi quella potenza è sempre di un ordine superiore rispetto alle altre funzioni. Sbaglio?
Comunque la serie è stata risolta in modo diverso, in modo da capire meglio alcuni concetti che non avevamo chiari.
@Mazzy89: Grazie per l'esempio. Ora è chiaro. Un'ultima cosa però. Nell'esempio da te riportato, scrivi: "Ora sappiamo che $-1<=sine<=1$ e quindi sommando $4$ si ha $3<=4-sine<=5$. A questo punto possiamo confrontare $(n^(sine))/(n^4 -logn)$ con $1/n^3$ che come sappiamo converge." Non capisco questo tuo ultimo passaggio. Perchè confrontare con con $1/n^3$?? Potevo confrontare anche con $1/n^5$, come hai scritto, la quale converge lo stesso?
Riguardo alla tua domanda sull'ordine di infinitesimo di $2^n$, credo proprio che quella da te suggerita, cioè che l'ordine sia $n$, sia proprio la risposta esatta. Quindi quella potenza è sempre di un ordine superiore rispetto alle altre funzioni. Sbaglio?
"Albertus16":
@Marco512: Ho visto il topic da te segnalato e la serie è proprio quella di cui abbiamo parlato finora. Non mi sono messo a ricercare argomenti simili e/o uguali.
Comunque la serie è stata risolta in modo diverso, in modo da capire meglio alcuni concetti che non avevamo chiari.
@Mazzy89: Grazie per l'esempio. Ora è chiaro. Un'ultima cosa però. Nell'esempio da te riportato, scrivi: "Ora sappiamo che $-1<=sine<=1$ e quindi sommando $4$ si ha $3<=4-sine<=5$. A questo punto possiamo confrontare $(n^(sine))/(n^4 -logn)$ con $1/n^3$ che come sappiamo converge." Non capisco questo tuo ultimo passaggio. Perchè confrontare con con $1/n^3$?? Potevo confrontare anche con $1/n^5$, come hai scritto, la quale converge lo stesso?
Riguardo alla tua domanda sull'ordine di infinitesimo di $2^n$, credo proprio che quella da te suggerita, cioè che l'ordine sia $n$, sia proprio la risposta esatta. Quindi quella potenza è sempre di un ordine superiore rispetto alle altre funzioni. Sbaglio?
Confronto la serie con la serie $1/n^3$ dato che la successione $n^sine/(n^4-logn)$ è un'infinitesimo di ordine superiore a $3$. questo vuol dire che si verifica la seguente diseguaglianza:
$n^sine/(n^4-logn)<=1/n^3$.
Riguardo alla tua domanda sull'ordine di infinitesimo di $2^n$, credo proprio che quella da te suggerita, cioè che l'ordine sia $n$, sia proprio la risposta esatta. Quindi quella potenza è sempre di un ordine superiore rispetto alle altre funzioni. Sbaglio?
Io penso che non sbagli. L'ordine di infinitesimo è proprio $n$
Intanto scusami per il ritardo con cui rispondo e ti ringrazio per il tuo aiuto.
Uno dei nostri problemi principali, quando incontriamo una serie, è proprio quello di determinare l'ordine di un infinitesimo. Sappiamo come verificare se una funzione è infinitesima e/o è di ordine superiore o inferiore ad un'altra o anche asintoticamente equivalente, ma non siamo in grado, salvo rari casi, come la serie geometrica $2^n$, di calcolarci l'ordine degli infinitesimi, come nel caso di una serie composta da polinomi, funzioni composte.
Ad esempio abbiamo una serie composta da polinomi, sia al denominatore, che al numeratore, magari con funzioni irrazionali o trigonometriche. Come dobbiamo comportarci? Quali sono le regole del calcolo degli infinitesimi, nel caso di rapporto o prodotto tra fattori?
Grazie ancora e ciao!
Uno dei nostri problemi principali, quando incontriamo una serie, è proprio quello di determinare l'ordine di un infinitesimo. Sappiamo come verificare se una funzione è infinitesima e/o è di ordine superiore o inferiore ad un'altra o anche asintoticamente equivalente, ma non siamo in grado, salvo rari casi, come la serie geometrica $2^n$, di calcolarci l'ordine degli infinitesimi, come nel caso di una serie composta da polinomi, funzioni composte.
Ad esempio abbiamo una serie composta da polinomi, sia al denominatore, che al numeratore, magari con funzioni irrazionali o trigonometriche. Come dobbiamo comportarci? Quali sono le regole del calcolo degli infinitesimi, nel caso di rapporto o prodotto tra fattori?
Grazie ancora e ciao!
"Albertus16":
Intanto scusami per il ritardo con cui rispondo e ti ringrazio per il tuo aiuto.
Uno dei nostri problemi principali, quando incontriamo una serie, è proprio quello di determinare l'ordine di un infinitesimo. Sappiamo come verificare se una funzione è infinitesima e/o è di ordine superiore o inferiore ad un'altra o anche asintoticamente equivalente, ma non siamo in grado, salvo rari casi, come la serie geometrica $2^n$, di calcolarci l'ordine degli infinitesimi, come nel caso di una serie composta da polinomi, funzioni composte.
Ad esempio abbiamo una serie composta da polinomi, sia al denominatore, che al numeratore, magari con funzioni irrazionali o trigonometriche. Come dobbiamo comportarci? Quali sono le regole del calcolo degli infinitesimi, nel caso di rapporto o prodotto tra fattori?
Grazie ancora e ciao!
Be guarda Albertus16 il punto è di andare ad isolare nella serie quella quantità che fa tendere la successione a $0$ e su di questa studiarne l'ordine di infinitesimo tramite vari passaggi sfruttando per lo più raccolta a fattor comune e proprietà di potenze.Molte volte capita che si ha una quantità che tende a $1$ e una che tende a $0$. Ovviamente non ci interessa la quantità che tende ad $1$ perchè non ha nessun peso per l'infinitesimo. Prima di fare tesoro di ciò che ho detto attendi magari un parere di qualcuno pià auterevole di me e poi vediamo
Grazie per la risposta mazzy89. Ho capito. Allora attendiamo risposta.
Autorevole o no dico soltanto che nel topic "Esercizio carattere serie" si studia una serie molto simile a questa.
Infatti sto seguendo con attenzione anche quel topic. Grazie del suggerimento.
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