Dubbi su questioni di Analisi 1
- Salve e grazie per l'attenzione.
Tra i passaggi dei ragionamenti del mio professore all'università mi sono sfuggite alcune motivazioni, ci ringrazierei molto se me le chiariste per favore.
1 - Perché nel calcolare i limiti l'operazione di cambio di variabile è permessa dalla continuità delle funzioni
2 - Perché è la continuità che permette di capire se una funzione è suriettiva
3 - Questo passaggio nella trasformazione di un limite non mi è chiaro:
partendo da: $log(lim(1+y)^(1/y)) = log(lim(1+y)/y)$ non ho capito il prossimo passaggio: $lim(log(1+y)/y))$
Come mai si scambiano log e lim?
4 - Nella dimostrazione del teorema degli zeri (prendiamo come esempio questa dimostrazione http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Bolzano), al punto finale della versione per assurdo, non capisco il motivo per cui le conseguenze di $f(x0) < 0$ e $f(x0) > 0$ siano assurde. Cioè, come mai il teorema della permanenza del segno va in conflitto con le proprietà di estremo superiore?
Grazie,
Francesco.
Tra i passaggi dei ragionamenti del mio professore all'università mi sono sfuggite alcune motivazioni, ci ringrazierei molto se me le chiariste per favore.
1 - Perché nel calcolare i limiti l'operazione di cambio di variabile è permessa dalla continuità delle funzioni
2 - Perché è la continuità che permette di capire se una funzione è suriettiva
3 - Questo passaggio nella trasformazione di un limite non mi è chiaro:
partendo da: $log(lim(1+y)^(1/y)) = log(lim(1+y)/y)$ non ho capito il prossimo passaggio: $lim(log(1+y)/y))$
Come mai si scambiano log e lim?
4 - Nella dimostrazione del teorema degli zeri (prendiamo come esempio questa dimostrazione http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Bolzano), al punto finale della versione per assurdo, non capisco il motivo per cui le conseguenze di $f(x0) < 0$ e $f(x0) > 0$ siano assurde. Cioè, come mai il teorema della permanenza del segno va in conflitto con le proprietà di estremo superiore?
Grazie,
Francesco.
Risposte
1- Quando cambi la variabile applichi il teorema delle funzioni composte per cui
date due funzioni f,G
f: X ---> Y
G: W ---> Z l'insieme di arrivo di f (il suo codominio Y) deve essere contenuto in quello di esistenza di G (il dominio W)
Per il teorema delle funzioni composte con questa condizione vale quanto segue che ti permette il cambio di variabile
se $ lim_(x -> xo) f(x) = yo $ e
se $ lim_(y -> yo) G(y) = l $
allora $ lim_(x -> xo) G(f(x))= l $
quindi sostanzialmente dicendo che sono entrambe continue sei sicuro che la condizione che ti ho scritto sopra in grassetto è rispettata.
date due funzioni f,G
f: X ---> Y
G: W ---> Z l'insieme di arrivo di f (il suo codominio Y) deve essere contenuto in quello di esistenza di G (il dominio W)
Per il teorema delle funzioni composte con questa condizione vale quanto segue che ti permette il cambio di variabile
se $ lim_(x -> xo) f(x) = yo $ e
se $ lim_(y -> yo) G(y) = l $
allora $ lim_(x -> xo) G(f(x))= l $
quindi sostanzialmente dicendo che sono entrambe continue sei sicuro che la condizione che ti ho scritto sopra in grassetto è rispettata.
Il teorema citato da Bombi richiede una ulteriore ipotesi:
\[
f(x) \neq y_0 \quad \forall x\neq x_0.
\]
(Ovviamente basta che questa condizione sia soddisfatta in un opportuno intorno di \(x_0\), escluso il punto \(x_0\) stesso.)
\[
f(x) \neq y_0 \quad \forall x\neq x_0.
\]
(Ovviamente basta che questa condizione sia soddisfatta in un opportuno intorno di \(x_0\), escluso il punto \(x_0\) stesso.)
2 - Faccio riferimento alla DIM di Wikipedia da te citata:
chiamo xo il sup dell'insieme E di tutti i punti x appartenenti ad (a,b) tali che
nel caso f(xo)<0
sei sicuro che il sup esiste perchè E è contenuto in (a,b) quindi di conseguenza b è un maggiorante di E cioè b è maggioredi tutti gli elementi di E quindi è un maggiorante quindi è maggiore di xo che è il più piccolo dei maggioranti per definizione di sup ammenochè b non sia il sup stesso quindi ammenochè b non sia uguale ad xo.
in generale dunque $ b>= xo $
essendo la funzione continua $ f(xo) = lim_(x -> xo) f(x) < 0 $ quindi deve esistere un intorno completo di xo in cui la funzione f(x) è anch'essa minore di zero, ciò significa che esiste un xo+d con d>0 in cui la funzione è ancora minore di zero quindi xo+d sarebbe il nuovo sup dell'insieme perchè maggiore di xo e tale che la sua immagine sia minore di zero, quindi questo va in contraddizione col fatto che xo era il sup.
nel caso f(xo) > 0
vale lo stesso discorso però in questo caso xo non è + il sup secondo quest'ipotesi perchè ammettendo che esiste un intorno completo di f(xo) in cui la funzione è maggiore di zero quindi anche in xo-d con d>0 quindi stai violando il fatto che xo è il sup di E in quanto esiste un valore che lo precede la cui immagine è maggiore di zero.
si conclude che l'insieme dei punti con f(x)<0 e quello con f(x)>0 sono separati e contigui con elemento di separazione xo in cui vale che f(xo)=0
chiamo xo il sup dell'insieme E di tutti i punti x appartenenti ad (a,b) tali che
nel caso f(xo)<0
sei sicuro che il sup esiste perchè E è contenuto in (a,b) quindi di conseguenza b è un maggiorante di E cioè b è maggioredi tutti gli elementi di E quindi è un maggiorante quindi è maggiore di xo che è il più piccolo dei maggioranti per definizione di sup ammenochè b non sia il sup stesso quindi ammenochè b non sia uguale ad xo.
in generale dunque $ b>= xo $
essendo la funzione continua $ f(xo) = lim_(x -> xo) f(x) < 0 $ quindi deve esistere un intorno completo di xo in cui la funzione f(x) è anch'essa minore di zero, ciò significa che esiste un xo+d con d>0 in cui la funzione è ancora minore di zero quindi xo+d sarebbe il nuovo sup dell'insieme perchè maggiore di xo e tale che la sua immagine sia minore di zero, quindi questo va in contraddizione col fatto che xo era il sup.
nel caso f(xo) > 0
vale lo stesso discorso però in questo caso xo non è + il sup secondo quest'ipotesi perchè ammettendo che esiste un intorno completo di f(xo) in cui la funzione è maggiore di zero quindi anche in xo-d con d>0 quindi stai violando il fatto che xo è il sup di E in quanto esiste un valore che lo precede la cui immagine è maggiore di zero.
si conclude che l'insieme dei punti con f(x)<0 e quello con f(x)>0 sono separati e contigui con elemento di separazione xo in cui vale che f(xo)=0
"Rigel":
Il teorema citato da Bombi richiede una ulteriore ipotesi:
\[
f(x) \neq y_0 \quad \forall x\neq x_0.
\]
(Ovviamente basta che questa condizione sia soddisfatta in un opportuno intorno di \(x_0\), escluso il punto \(x_0\) stesso.)
Non vorrei sbagliarmi ma credo che questo sia assunto per il fatto che è posto
$ lim_(x -> xo) f(x) = yo $
infatti per la definizione di limite questa scrittura implica che
\( \forall \varepsilon > 0 \) \( \exists \) d tale che per x appartenente a ]xo-d,xo+d[ \ {xo} , |f(x) - yo| < \( \varepsilon \)
quindi ho già escluso il punto xo
Ti sbagli; considera il seguente esempio:
\[
f(x) = 0 \quad \forall x\in\mathbb{R},\qquad
g(x) = \begin{cases}
1, &\text{se}\ x\neq 0,\\
2, &\text{se}\ x= 0,
\end{cases}
\]
con \(x_0=0\).
Hai che \(g(f(x)) = g(0) = 2\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\), dunque \(\lim_{x\to 0} g(f(x)) = 2\).
D'altra parte \(y_0 = \lim_{x\to 0} f(x) = 0\), ma \(\lim_{y\to 0} g(x) = 1\).
Non ho citato nessuna dim. di Wikipedia.
\[
f(x) = 0 \quad \forall x\in\mathbb{R},\qquad
g(x) = \begin{cases}
1, &\text{se}\ x\neq 0,\\
2, &\text{se}\ x= 0,
\end{cases}
\]
con \(x_0=0\).
Hai che \(g(f(x)) = g(0) = 2\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\), dunque \(\lim_{x\to 0} g(f(x)) = 2\).
D'altra parte \(y_0 = \lim_{x\to 0} f(x) = 0\), ma \(\lim_{y\to 0} g(x) = 1\).
"Bombi":
2 - Faccio riferimento alla DIM di Wikipedia da te citata:
Non ho citato nessuna dim. di Wikipedia.
Perdonami se insisto ma forse ho bisogno di qualche ulteriore chiarimento perchè ho delle perplessità:
la funzione g da te considerata è una funzione discontinua in x=0 (se non sbaglio viene chiamata discontinuità di 3 specie o eliminabile) quindi non comprendo la tua deduzione che
infatti per le funzioni discontinue il limite per x che tende a xo non corrisponde al valore della funzione nel punto xo.
io mi trovo che $ lim_(x -> 0) g(f(x)) = 1 $ mentre g(f(0))= 2 ma ti ripeto non mi sembra strano, mi sembra dovuto al fatto che è discontinua, infatti se il valore del limite fosse 2 la funzione sarebbe continua, e non lo è.
Riguardo al fatto della DIM di wikipedia non era riferito a te è una risposta al dubbio che ha postato tuttoscorre:
la funzione g da te considerata è una funzione discontinua in x=0 (se non sbaglio viene chiamata discontinuità di 3 specie o eliminabile) quindi non comprendo la tua deduzione che
"Rigel":
Hai che \(g(f(x)) = g(0) = 2\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\), dunque \(\lim_{x\to 0} g(f(x)) = 2\).
infatti per le funzioni discontinue il limite per x che tende a xo non corrisponde al valore della funzione nel punto xo.
io mi trovo che $ lim_(x -> 0) g(f(x)) = 1 $ mentre g(f(0))= 2 ma ti ripeto non mi sembra strano, mi sembra dovuto al fatto che è discontinua, infatti se il valore del limite fosse 2 la funzione sarebbe continua, e non lo è.
Riguardo al fatto della DIM di wikipedia non era riferito a te è una risposta al dubbio che ha postato tuttoscorre:
"tuttoscorre":
4 - Nella dimostrazione del teorema degli zeri (prendiamo come esempio questa dimostrazione http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Bolzano), al punto finale della versione per assurdo, non capisco il motivo per cui le conseguenze di f(x0)<0 e f(x0)>0 siano assurde. Cioè, come mai il teorema della permanenza del segno va in conflitto con le proprietà di estremo superiore?
"tuttoscorre":
1 - Perché nel calcolare i limiti l'operazione di cambio di variabile è permessa dalla continuità delle funzioni
Perché c'è un teorema che te lo assicura.
L'hai studiato?
Tra l'altro, recentemente ho scritto un paio di cosette proprio su questo teorema: se ti va, puoi buttare un'occhiata qui.
"tuttoscorre":
2 - Perché è la continuità che permette di capire se una funzione è suriettiva
Questo è del tutto falso.
"tuttoscorre":
3 - Questo passaggio nella trasformazione di un limite non mi è chiaro:
partendo da: $log(lim(1+y)^(1/y)) = log(lim(1+y)/y)$ non ho capito il prossimo passaggio: $lim(log(1+y)/y))$
Come mai si scambiano log e lim?
A chi tende \(y\)?
Ad ogni modo, non si capisce bene ciò che vuoi intendere. Prova a scriverlo meglio.
"tuttoscorre":
4 - Nella dimostrazione del teorema degli zeri (prendiamo come esempio questa dimostrazione http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Bolzano), al punto finale della versione per assurdo, non capisco il motivo per cui le conseguenze di $f(x0) < 0$ e $f(x0) > 0$ siano assurde. Cioè, come mai il teorema della permanenza del segno va in conflitto con le proprietà di estremo superiore?
Hai posto per definizione:
\[
x_0=:= \sup \underbrace{\{ x\in [a,b]:\ f(x)<0\}}_{\color{red}{=:A}}\; .
\]
Se fosse \(f(x_0)<0\), per permanenza del segno dovrebbe esistere un intorno completo \([x_0-\delta,x_0+\delta]\) con \(\delta >0\) "piccolo" tale che \(f(x)<0\) per ogni \(x\in [x_0-\delta,x_0+\delta]\); in particolare, sarebbe \(f(x_0+\delta)<0\), ossia \(x_0+\delta\in A\), il che è impossibile perché \(A\) non può contenere elementi più grandi di \(x_0\) (per definizione di estremo superiore).
D'altro canto, se fosse \(f(x_0)>0\), sempre per permanenza del segno dovrebbe esistere un intorno completo \([x_0-\delta,x_0+\delta]\) con \(\delta >0\) "piccolo" tale che \(f(x)>0\) per ogni \(x\in [x_0-\delta,x_0+\delta]\); in particolare, sarebbe \(f(x)>0\) per ogni \(x\in [x_0-\delta , x_0]\), il che è impossibile perché \(x_0\) è di accumulazione per l'insieme \(A\), pertanto esistono infiniti \(x_n\in [x_0-\delta ,x_0[\cap A\) in cui \(f(x_n)<0\).
"Bombi":
la funzione g da te considerata è una funzione discontinua in x=0 (se non sbaglio viene chiamata discontinuità di 3 specie o eliminabile) quindi non comprendo la tua deduzione che
[quote="Rigel"] Hai che \(g(f(x)) = g(0) = 2\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\), dunque \(\lim_{x\to 0} g(f(x)) = 2\).
infatti per le funzioni discontinue il limite per x che tende a xo non corrisponde al valore della funzione nel punto xo.
io mi trovo che $ lim_(x -> 0) g(f(x)) = 1 $ mentre g(f(0))= 2 ma ti ripeto non mi sembra strano, mi sembra dovuto al fatto che è discontinua, infatti se il valore del limite fosse 2 la funzione sarebbe continua, e non lo è.
[/quote]
Allora, ragioniamo un attimo sulla definizione di funzione composta (al momento limiti, continuità, etc. non c'entrano niente).
Chiamiamo \(h = g\circ f\); dal momento che \(f\) e \(g\) sono definite su tutto \(\mathbb{R}\), anche \(h\) lo sarà.
Come calcolo \(h\)? Assegnato \(x\in\mathbb{R}\), calcolo prima \(y:=f(x)\), poi applico \(g\) a \(y\), cioè calcolo \(g(y)\).
Vediamo un po' cosa succede:
\[
\mathbb{R}\ni x\ \mapsto\ y := f(x) = 0\ \mapsto\ h(x) = g(y) = g(0) = 2.
\]
Come vedi \(h(x) = 2\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\).
Calcolata la funzione composta, passiamo al calcolo del limite.
Essendo \(h\) una funzione costante, il suo limite si calcola facilmente: \(\lim_{x\to 0} h(x) = 2\).
Osservazione: l'ipotesi aggiuntiva da me citata (\(f(x) \neq y_0\) per ogni \(x\neq x_0\)) serve proprio ad evitare che accadano fenomeni di questo tipo. Naturalmente questo non accade se \(g\) è continua in \(y_0\), ma questa richiesta non compare (giustamente) nel teorema da te citato.
EDIT: ho appena visto le note scritte da gugo proprio su questo argomento; se vuoi puoi approfondire lì queste questioni.
Grazie a tutti per le risposte. Per quanto riguarda il limite sopra, non ho capito bene come mai il professore ha fatto questo passaggio:
$log(lim_(y->0) (1+y)/y) = lim_(y->0)(log (1+y)/y)$
Com'è possibile estrarre un limite dall'argomento di un logaritmo?
$log(lim_(y->0) (1+y)/y) = lim_(y->0)(log (1+y)/y)$
Com'è possibile estrarre un limite dall'argomento di un logaritmo?
Infatti ciò che scrivi non è corretto.
Probabilmente hai sbagliato a copiare il passaggio dalla lavagna.
Probabilmente hai sbagliato a copiare il passaggio dalla lavagna.
Ho capito, grazie mille di tutto!
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