Dubbi su problemi di ricerca di max/min di una funzione
Buongiorno a tutti. 
Ho un paio di dubbi sul metodo per la ricerca di massimi e minimi assoluti di una funzione su un insieme aperto.
Queste le mie perplessità:
1) Se la matrice hessiana delle derivate seconde della funzione calcolata in un certo punto xo risulta essere semidefinita positiva anzichè positiva o semidefinita negativa anzichè negativa, cosa posso concludere sul punto xo? Nulla?
2) Non riesco a capire perchè una volta trovata la natura di ogni punto critico (ossia se è un punto di massimo/minimo relativo o un punto di sella), si debba seguire una procedura così complessa per trovare il massimo o il minimo assoluto. Infatti, si deve sempre dimostrare che per ogni x appartenente all'insieme aperto il valore della funzione in quel punto sia minore o uguale del valore della funzione nel massimo assoluto. Se ho già trovato i punti di massimo relativo, non è più semplice calcolare la funzione in tutti i punti di massimo relativo trovati e vedere quello in cui la funzione assume il più grande valore?
3) Ho capito che se non esistono punti di minimo/massimo relativi, allora non esistono nemmeno punti di minimo/massimo assoluti. Ma se esistono punti di minimo/massimo relativi, allroa si può dire che esiste certamente il punto di minimo/massimo assoluto? Perchè intuitivamente direi di sì.
Grazie mille.
Ho un paio di dubbi sul metodo per la ricerca di massimi e minimi assoluti di una funzione su un insieme aperto.
Queste le mie perplessità:
1) Se la matrice hessiana delle derivate seconde della funzione calcolata in un certo punto xo risulta essere semidefinita positiva anzichè positiva o semidefinita negativa anzichè negativa, cosa posso concludere sul punto xo? Nulla?
2) Non riesco a capire perchè una volta trovata la natura di ogni punto critico (ossia se è un punto di massimo/minimo relativo o un punto di sella), si debba seguire una procedura così complessa per trovare il massimo o il minimo assoluto. Infatti, si deve sempre dimostrare che per ogni x appartenente all'insieme aperto il valore della funzione in quel punto sia minore o uguale del valore della funzione nel massimo assoluto. Se ho già trovato i punti di massimo relativo, non è più semplice calcolare la funzione in tutti i punti di massimo relativo trovati e vedere quello in cui la funzione assume il più grande valore?
3) Ho capito che se non esistono punti di minimo/massimo relativi, allora non esistono nemmeno punti di minimo/massimo assoluti. Ma se esistono punti di minimo/massimo relativi, allroa si può dire che esiste certamente il punto di minimo/massimo assoluto? Perchè intuitivamente direi di sì.
Grazie mille.
Risposte
"Saimon":
2) Non riesco a capire perchè una volta trovata la natura di ogni punto critico (ossia se è un punto di massimo/minimo relativo o un punto di sella), si debba seguire una procedura così complessa per trovare il massimo o il minimo assoluto. Infatti, si deve sempre dimostrare che per ogni x appartenente all'insieme aperto il valore della funzione in quel punto sia minore o uguale del valore della funzione nel massimo assoluto. Se ho già trovato i punti di massimo relativo, non è più semplice calcolare la funzione in tutti i punti di massimo relativo trovati e vedere quello in cui la funzione assume il più grande valore?
Per fissare le idee immagina che l'aperto sia l'intero piano $RR^2$ e supponi di avere una funzione $f : RR^2 -> RR$ che ha dei punti di massimo o di minimo relativi in una certa palla centrata nell'origine (i quali possono essere individuati con i metodi che ben conosci...).
Tuttavia per $|| \vec x|| \to +oo$ hai che $|f(vec x)| -> +oo$. E' evidente allora che i punti di massimo relativo eventualmente trovati non sono punti di massimo assoluti.
Grazie della spiegazione, Seneca. Credo di aver capito quello mi volevi spiegare.
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