Dubbi su Landau
Leggendo le definizioni dei simboli di Landau ho notato una somiglianza con il confronto di infiniti e infinitesimi che avevo appreso a scuola, anzi in realtà sono proprio la stessa cosa.
L'unico mio dubbio sorge sul fatto che la definizione data richiede il rapporto (esempio per equivalenza asintotica e o-piccolo) di due funzioni (non specificando che siano infinite o infinitesime), da qui il dubbio vero e proprio: se ad esempio avessi due funzioni che tendono a 3 $lim_(x->x_0) f(x)=3$, $lim_(x->x_0) g(x)=3$ sfruttando la definizione:
$lim_(x->x_0) f(x)/g(x)=?$
il valore di "?" potrebbe assumere valori tipo 0 o 1 dando vita a o-piccoli e equivalente asintotiche?
Non mi è del tutto chiaro
L'unico mio dubbio sorge sul fatto che la definizione data richiede il rapporto (esempio per equivalenza asintotica e o-piccolo) di due funzioni (non specificando che siano infinite o infinitesime), da qui il dubbio vero e proprio: se ad esempio avessi due funzioni che tendono a 3 $lim_(x->x_0) f(x)=3$, $lim_(x->x_0) g(x)=3$ sfruttando la definizione:
$lim_(x->x_0) f(x)/g(x)=?$
il valore di "?" potrebbe assumere valori tipo 0 o 1 dando vita a o-piccoli e equivalente asintotiche?
Non mi è del tutto chiaro
Risposte
Il valore possibile $?$ dell'ultimo limite è uno... Quale?
Ciao gugo, grazie per la risposta così celere.
Allora l'ultimo limite per quanto ho visto è la definizione di simbolo di Landau a seconda del risultato che ne esce per "?" ho un diverso "simbolo".
A intuito direi che il valore che esce può al massimo essere 1 (sicuramente non zero nel mio esempio di apertura post), perché quel rapporto è come se mi stimasse quante volte il denominatore sta nella funzione a numeratore passando di volta in volta a una x più vicina a x0, e tale limite è mandato a zero solo nel caso in cui ho un infinito a denominatore di ordine superiore al numeratore (funzioni infinite); oppure se ho funzioni infinitesime in questo secondo caso a parti invertite ho un o-piccolo (cioè il ? vale $?=0$) solo se il numeratore è uno zero di ordine maggiore rispetto al denominatore.
Se non ho un "rapporto" di funzioni infinite o infinitesime (ma ad esempio un rapporto di due funzioni che danno limite finito -nel mio esempio la funzione che ha per limite 3) mi pare che potrebbe solamente uscire un limite finito da tale rapporto.
Ad esempio potrebbe essere 1, se sono funzioni asintoticamente equivalenti o un numero reale diverso d uno se sono equigrandi (come definisce il mio testo).
Corretto? Ti andrebbe di aiutarmi e ragionarci su con me, vorrei mettere ordine alle idee e chiarirmelo in modo più formale se non ho detto mille castronerie
Allora l'ultimo limite per quanto ho visto è la definizione di simbolo di Landau a seconda del risultato che ne esce per "?" ho un diverso "simbolo".
A intuito direi che il valore che esce può al massimo essere 1 (sicuramente non zero nel mio esempio di apertura post), perché quel rapporto è come se mi stimasse quante volte il denominatore sta nella funzione a numeratore passando di volta in volta a una x più vicina a x0, e tale limite è mandato a zero solo nel caso in cui ho un infinito a denominatore di ordine superiore al numeratore (funzioni infinite); oppure se ho funzioni infinitesime in questo secondo caso a parti invertite ho un o-piccolo (cioè il ? vale $?=0$) solo se il numeratore è uno zero di ordine maggiore rispetto al denominatore.
Se non ho un "rapporto" di funzioni infinite o infinitesime (ma ad esempio un rapporto di due funzioni che danno limite finito -nel mio esempio la funzione che ha per limite 3) mi pare che potrebbe solamente uscire un limite finito da tale rapporto.
Ad esempio potrebbe essere 1, se sono funzioni asintoticamente equivalenti o un numero reale diverso d uno se sono equigrandi (come definisce il mio testo).
Corretto? Ti andrebbe di aiutarmi e ragionarci su con me, vorrei mettere ordine alle idee e chiarirmelo in modo più formale se non ho detto mille castronerie
Nelle ipotesi poste hai:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} =\frac{3}{3}=1\;,
\]
quindi di cosa stiamo parlando?
Un po' di attenzione, santa pazienza...
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} =\frac{3}{3}=1\;,
\]
quindi di cosa stiamo parlando?
Un po' di attenzione, santa pazienza...
Mi sono perso nel mio volo pindarico 
figuraccia!
Diciamo che mi sono sbagliato esempio mentale, insomma hanno senso solo per funzioni infinite o infinitesime, altrimenti avrei un eq. asintotica essendo 1.
Corretto?
Grazie gugo82!
figuraccia!Diciamo che mi sono sbagliato esempio mentale, insomma hanno senso solo per funzioni infinite o infinitesime, altrimenti avrei un eq. asintotica essendo 1.
Corretto?
Grazie gugo82!
Mi accorgo di aver posto male questo mio secondo dubbio, mi chiedo se, dato che fa 1, si parli anche in tal caso di equivalenza asintotica. O se tale termine vale solo per funzioni infinite ed infinitesime
La seconda che hai detto.
Una citazione di Corrado Guzzanti 
@dissonance: Idolo indiscusso della mia gioventù...
Grazie!
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