Dubbi su inversione ordine integrazione su integrali doppi
L'esercizio è il seguente:
$ int_(-1)^(1) int_(|x|)^(sqrt(2-x^2))f(x,y) dy dx $
quindi $D={ -1<=x<=1 , |x|<=y<=sqrt(2-x^2)}$ , il grafico è uno triangolino, con la punta verso il basso, a base curva e simmetrico rispetto all'asse y.
L'esercizio mi chiede di invertire i due estremi, quindi dovrò descrivere la x con estremi in funzione di y e la y dovrà avere due punti fissi, giusto?
Disegnando il grafico, vedo che la y varia fra $0$ a $sqrt(2)$ mentre per la x, non so come descrivere in funzione di y i suoi estremi.
Possibile che siano $|y|<=x<=|sqrt(2-y^2)|$? Purtroppo sul libro di testo e in aula non ho riferimenti e mi sto basando solo sui thread che trovo qui.
Grazie in anticipo per l'aiuto
$ int_(-1)^(1) int_(|x|)^(sqrt(2-x^2))f(x,y) dy dx $
quindi $D={ -1<=x<=1 , |x|<=y<=sqrt(2-x^2)}$ , il grafico è uno triangolino, con la punta verso il basso, a base curva e simmetrico rispetto all'asse y.
L'esercizio mi chiede di invertire i due estremi, quindi dovrò descrivere la x con estremi in funzione di y e la y dovrà avere due punti fissi, giusto?
Disegnando il grafico, vedo che la y varia fra $0$ a $sqrt(2)$ mentre per la x, non so come descrivere in funzione di y i suoi estremi.
Possibile che siano $|y|<=x<=|sqrt(2-y^2)|$? Purtroppo sul libro di testo e in aula non ho riferimenti e mi sto basando solo sui thread che trovo qui.
Grazie in anticipo per l'aiuto
Risposte
Devi spezzarlo:
$I=\int_0^1dy\int_-y^ydxf(x,y)+\int_1^sqrt2dy\int_-sqrt(2-y^2)^sqrt(2-y^2)dxf(x,y)$
Infatti, se ti aiuti con il grafico:
Passo 1. Se fissi $[0 lt= y lt= 1]$, ricavi $[-y lt= x lt= y]$
Passo 2. Se fissi $[1 lt= y lt= sqrt2]$, ricavi $[-sqrt(2-y^2) lt= x lt= sqrt(2-y^2)]$
Del resto, anche nel primo caso, per la presenza del valore assoluto:
$I=\int_-1^0dx\int_-x^sqrt(2-x^2)dyf(x,y)+\int_0^1dx\int_x^sqrt(2-x^2)dyf(x,y)$
Infatti, sempre se ti aiuti con il grafico:
Passo 1. Se fissi $[-1 lt= x lt= 0]$, ricavi $[-x lt= y lt= sqrt(2-x^2)]$
Passo 2. Se fissi $[0 lt= x lt= 1]$, ricavi $[x lt= y lt= sqrt(2-x^2)]$
$I=\int_0^1dy\int_-y^ydxf(x,y)+\int_1^sqrt2dy\int_-sqrt(2-y^2)^sqrt(2-y^2)dxf(x,y)$
Infatti, se ti aiuti con il grafico:
Passo 1. Se fissi $[0 lt= y lt= 1]$, ricavi $[-y lt= x lt= y]$
Passo 2. Se fissi $[1 lt= y lt= sqrt2]$, ricavi $[-sqrt(2-y^2) lt= x lt= sqrt(2-y^2)]$
Del resto, anche nel primo caso, per la presenza del valore assoluto:
$I=\int_-1^0dx\int_-x^sqrt(2-x^2)dyf(x,y)+\int_0^1dx\int_x^sqrt(2-x^2)dyf(x,y)$
Infatti, sempre se ti aiuti con il grafico:
Passo 1. Se fissi $[-1 lt= x lt= 0]$, ricavi $[-x lt= y lt= sqrt(2-x^2)]$
Passo 2. Se fissi $[0 lt= x lt= 1]$, ricavi $[x lt= y lt= sqrt(2-x^2)]$
@lorenz8$
certo che se prima di postare perdessi qualche secondo con la funzione "cerca" si eviterebbero tanti post doppi....
GUARDA QUI
certo che se prima di postare perdessi qualche secondo con la funzione "cerca" si eviterebbero tanti post doppi....
GUARDA QUI
"tommik":
@lorenz8$
certo che se prima di postare perdessi qualche secondo con la funzione "cerca" si eviterebbero tanti post doppi....
GUARDA QUI
L'ho usato e non l'ho trovato, mi dispiace.
"anonymous_0b37e9":
Devi spezzarlo:
$I=\int_0^1dy\int_-y^ydxf(x,y)+\int_1^sqrt2dy\int_-sqrt(2-y^2)^sqrt(2-y^2)dxf(x,y)$
Infatti, se ti aiuti con il grafico:
Passo 1. Se fissi $[0 lt= y lt= 1]$, ricavi $[-y lt= x lt= y]$
Passo 2. Se fissi $[1 lt= y lt= sqrt2]$, ricavi $[-sqrt(2-y^2) lt= x lt= sqrt(2-y^2)]$
Del resto, anche nel primo caso, per la presenza del valore assoluto:
$I=\int_-1^0dx\int_-x^sqrt(2-x^2)dyf(x,y)+\int_0^1dx\int_x^sqrt(2-x^2)dyf(x,y)$
Infatti, sempre se ti aiuti con il grafico:
Passo 1. Se fissi $[-1 lt= x lt= 0]$, ricavi $[-x lt= y lt= sqrt(2-x^2)]$
Passo 2. Se fissi $[0 lt= x lt= 1]$, ricavi $[x lt= y lt= sqrt(2-x^2)]$
Grazie mille
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