Dubbi su integrali indefiniti

[mic85rm]

ragazzi qualche suggerimento su questi esercizi:

$ int_( )^( ) (x^2+x)/(x^2+16) dx $ qui spezzo l'integrale cosi'
$ int_( )^( ) (x^2)/(x^2+16) dx + int_( )^( ) (x)/(x^2+16) dx $
la seconda parte è di facile soluzione e viene
$ 1/2 log(x^2+16)+c $

per la prima parte non so come comportarmi...


$int_( )^( ) 2/(x^2-3) dx $ qua invece posso riscrivere l'integrale cosi:
$ int_( )^( ) ((1/sqrt3)/(x+sqrt3)dx - int_( )^( ) ( -1/sqrt3)/(x-sqrt3))dx $
risultato SBAGLIATO è
$ (1/sqrt3)log |((x-sqrt3)/(x+sqrt3))|+c $

sul libro è

$ (sqrt3/3)log |((x-sqrt3)/(x+sqrt3))|+c $

grazie

[rafz123]

Per il primo puoi riscriverlo così, sommando e sottraendo 16 al numeratore:
$ int_()^() (x²)/(x²+16) dx =int_()^() 1-16/ (x²+16) dx= int_()^() dx-16*int_()^() 1/(x²+16) dx $
E nota che il secondo è nella forma:
$ (f'(x))/{[f(x)]^2+k² $

Per il secondo nota che $ 1/(√3)=(√3)/3 $ , infatti basta razionalizzare moltiplicando numeratore e denominatore per $ √3 $ dunque i due risultati sono equivalenti

[mic85rm]

quindi la soluzione al secondo integrale da me proposta è corretta...interessante...ma non capisco per quale motivo farlo...

per la prima grazie...avevo gia fatto un esercizio simile ora mi è piu chiaro

[rafz123]

Ad essere sincero neanch'io ho trovato tanto materiale sul perché si svolga la razionalizzazione. Una spiegazione è legata alla semplificazione del calcolo numerico, ovvero al fatto che è più complicato avere un irrazionale a denominatore (cioè dividere per un irrazionale) piuttosto che un razionale. Magari se qualcuno ne sa qualcosa in più può aggiungere qualcosa in merito!