Dubbi su integrali / funzioni integrali
Ciao a tutti! Prima di tutto avviso che avevo postato questo dubbio nel topic "Studio della funzione integrale - I... VI", ma vedendo che alla discussione precedente avevano risposto dopo un mese, ho optato nel riscrivere la questione in un nuovo argomento! (ho avvisato di ciò anche nell'altra sezione...spero di non aver violato il regolamento con ciò.)
"Bando alle ciance", passo alla questione: mi servirebbe una mano per chiarire meglio questo argomento...oltre ad aver studiato l'argomento sul Pagani-Salsa - Analisi matematica 1, ho dato un'occhiata anche su internet, e ho dedotto questo:
INTEGRALE DEFINITO: si riduce al calcolo dell'area tra f(x) e l'asse delle ascisse (con segno, ovvero positiva per l'aera calcolata in y>0 e negativa per y<0) in [a;b]--> R; questo concetto è legato alle somme di Reimann-Cauchy.
INTEGRALE INDEFINITO: è il calcolo di tutte le primitive relative a quella funzione integranda (data la costante C ); la relazione tra somme di Reimann e primitiva è descritta nel teorema fondamentale del calcolo integrale (con relativa dimostrazione in cui, con il teorema del valor medio per gli integrali, si dimosta il connesso.)
FUNZIONE INTEGRALE: (e qui inizia la mia nota dolente): si cerca F(x) ovvero una funzione, devinita tra x0 (punto fissato, possiamo anche chiamarlo "a" se si vuole) ed x variabile, che naturalmente vivono sull'asse delle ascisse. Questa funzione deve essere la primitiva di un'altra funzione (per esempio f(t) )
Le mie domande sono:
1. f(t) ed F(x) Giaciono sullo stesso piano? O meglio, l'asse di ascissa t coincide con l'asse x? (perchè non riesco ad immaginarmi la situazione molto bene...)
2. Qual'è la differenza tra integrale PROPRIO ed IMPROPRIO?
3. Il primo esercizio relativo alle funzioni integrali del libro mi chiede: la derivata prima di:
$ F(x)=int_(1)^(x) (t log(1+t)) /(2t^2 + 5) dt $
Grazie al teorema di Torricelli possiamo dire che:
$ F'(x)=(x log(1+x)) /(2x^2 + 5) $
e ci posso stare...
il secondo esercizio invece è:
$ F(x)= int_(0)^(4x)(e^t) /((|t|+1) cosh t) dt $
Ma il risultato invece è:
$ F'(x)=4(e^(4x)) /((|4x|+1) cosh (4x)) $
Quella costante moltiplicatica 4, da dove viene?! ...è come se avesse moltiplicato la derivata dell'estremante... è dovuta per caso da dt?!?!
Grazie mille per ora.
"Bando alle ciance", passo alla questione: mi servirebbe una mano per chiarire meglio questo argomento...oltre ad aver studiato l'argomento sul Pagani-Salsa - Analisi matematica 1, ho dato un'occhiata anche su internet, e ho dedotto questo:
INTEGRALE DEFINITO: si riduce al calcolo dell'area tra f(x) e l'asse delle ascisse (con segno, ovvero positiva per l'aera calcolata in y>0 e negativa per y<0) in [a;b]--> R; questo concetto è legato alle somme di Reimann-Cauchy.
INTEGRALE INDEFINITO: è il calcolo di tutte le primitive relative a quella funzione integranda (data la costante C ); la relazione tra somme di Reimann e primitiva è descritta nel teorema fondamentale del calcolo integrale (con relativa dimostrazione in cui, con il teorema del valor medio per gli integrali, si dimosta il connesso.)
FUNZIONE INTEGRALE: (e qui inizia la mia nota dolente): si cerca F(x) ovvero una funzione, devinita tra x0 (punto fissato, possiamo anche chiamarlo "a" se si vuole) ed x variabile, che naturalmente vivono sull'asse delle ascisse. Questa funzione deve essere la primitiva di un'altra funzione (per esempio f(t) )
Le mie domande sono:
1. f(t) ed F(x) Giaciono sullo stesso piano? O meglio, l'asse di ascissa t coincide con l'asse x? (perchè non riesco ad immaginarmi la situazione molto bene...)
2. Qual'è la differenza tra integrale PROPRIO ed IMPROPRIO?
3. Il primo esercizio relativo alle funzioni integrali del libro mi chiede: la derivata prima di:
$ F(x)=int_(1)^(x) (t log(1+t)) /(2t^2 + 5) dt $
Grazie al teorema di Torricelli possiamo dire che:
$ F'(x)=(x log(1+x)) /(2x^2 + 5) $
e ci posso stare...
il secondo esercizio invece è:
$ F(x)= int_(0)^(4x)(e^t) /((|t|+1) cosh t) dt $
Ma il risultato invece è:
$ F'(x)=4(e^(4x)) /((|4x|+1) cosh (4x)) $
Quella costante moltiplicatica 4, da dove viene?! ...è come se avesse moltiplicato la derivata dell'estremante... è dovuta per caso da dt?!?!
Grazie mille per ora.
Risposte
E' proprio la derivata di $4x$.
Definiamo $G(x)= int_{0}^{x} (e^t)/( (|t|+1)cosh t ) dt$
Si ha $F(x)= G(4x)$, dunque $F'(x)= 4*G'(4x)$ (regola della derivazione della funzione composta)
Definiamo $G(x)= int_{0}^{x} (e^t)/( (|t|+1)cosh t ) dt$
Si ha $F(x)= G(4x)$, dunque $F'(x)= 4*G'(4x)$ (regola della derivazione della funzione composta)
Grazie mille! 
Ottimo! Invece per le curiosità 1 e 2 sai tante volte aiutarmi?
Ottimo! Invece per le curiosità 1 e 2 sai tante volte aiutarmi?
Detto in modo moolto grezzo e non formale:
Gli integrali impropri e gli integrali propri sono integrali definiti.
Nell'integrale proprio gli estremi di integrazione sono due numeri reali del dominio della funzione, comprendenti un intervallo tutto contenuto nel dominio.
Invece nell'integrale improprio gli estremi di integrazione possono essere $-oo$ e/o $+oo$ e/o punti di accumulazione del dominio ma non appartenenti ad esso. Anche entro l'intervallo delimitato dagli estremi di integrazione vi possono essere dei punti di accumulazione non appartenenti al dominio.
E per calcolare integrali impropri bisogna usare i limiti.
Ciao
Gli integrali impropri e gli integrali propri sono integrali definiti.
Nell'integrale proprio gli estremi di integrazione sono due numeri reali del dominio della funzione, comprendenti un intervallo tutto contenuto nel dominio.
Invece nell'integrale improprio gli estremi di integrazione possono essere $-oo$ e/o $+oo$ e/o punti di accumulazione del dominio ma non appartenenti ad esso. Anche entro l'intervallo delimitato dagli estremi di integrazione vi possono essere dei punti di accumulazione non appartenenti al dominio.
E per calcolare integrali impropri bisogna usare i limiti.
Ciao
"grimx":
Detto in modo moolto grezzo e non formale:
Gli integrali impropri e gli integrali propri sono integrali definiti.
Nell'integrale proprio gli estremi di integrazione sono due numeri reali del dominio della funzione, comprendenti un intervallo tutto contenuto nel dominio.
Invece nell'integrale improprio gli estremi di integrazione possono essere $-oo$ e/o $+oo$ e/o punti di accumulazione del dominio ma non appartenenti ad esso. Anche entro l'intervallo delimitato dagli estremi di integrazione vi possono essere dei punti di accumulazione non appartenenti al dominio.
E per calcolare integrali impropri bisogna usare i limiti.
Ciao
Ciao, grazie mille per la risposta. Per esempio:
$ ∫_0^3 1/x dx $
è un integrale proprio od improprio? Cioè...usanto il criterio del confronto asintotico per gli integrandi ed usando le funzioni fondamentali di confronto, per x-->0 si ha che 1/x, dato che l'esponente è maggiore uguale a 1, l'integrale diverge (in questo caso si poteva pure calcolare la primitiva, che è log|x| in (0;3) = +inf )
CORREGGIMI PER FAVORE SE SBAGLIO: L'integrale è un integrale è IMPROPRIO o anche detto INDEFINITO (perchè è definito tra a e b appartenenti ad R ) ma divergente (perchè non esiste finito)? Cioè...proprio e definito è la stessa cosa? ...e di conseguenza anche Improprio ed indefinito?
Io non sono un esperto, quindi aspetto che qualcuno più preparato di me risponda e mi corregga:
Quello che hai scritto è un integrle improprio, perchè un estremo di integrazione ( lo $0$) non fa parte del dominio nella funzione.
Un integrale improprio non è un integrale indefinito. Un integrale indefinto è quando non si hanno estremi di integrazione, come ad esempio:
$ int x^3 dx $
Un integrale improprio è un integrale definito (cioè con estremi di integrazione) con una particolarità: gli estremi di integrazione o sono $+oo$ e /o $-oo$ oppure non fanno parte del dominio della funzione.
Aspetto però che uno esperto spieghi meglio e mi corregga se ho detto qualche boiata.!
Quello che hai scritto è un integrle improprio, perchè un estremo di integrazione ( lo $0$) non fa parte del dominio nella funzione.
Un integrale improprio non è un integrale indefinito. Un integrale indefinto è quando non si hanno estremi di integrazione, come ad esempio:
$ int x^3 dx $
Un integrale improprio è un integrale definito (cioè con estremi di integrazione) con una particolarità: gli estremi di integrazione o sono $+oo$ e /o $-oo$ oppure non fanno parte del dominio della funzione.
Aspetto però che uno esperto spieghi meglio e mi corregga se ho detto qualche boiata.!
"grimx":
Io non sono un esperto, quindi aspetto che qualcuno più preparato di me risponda e mi corregga:
Quello che hai scritto è un integrle improprio, perchè un estremo di integrazione ( lo $0$) non fa parte del dominio nella funzione.
Un integrale improprio non è un integrale indefinito. Un integrale indefinto è quando non si hanno estremi di integrazione, come ad esempio:
$ int x^3 dx $
Un integrale improprio è un integrale definito (cioè con estremi di integrazione) con una particolarità: gli estremi di integrazione o sono $+oo£ e /o $-oo$ oppure non fanno parte del dominio della funzione.
Aspetto però che uno esperto spieghi meglio e mi corregga se ho detto qualche boiata.!
Giusto...tra proprio, improprio, definito ed indefinito mi sto ricitrullendo!!! -.-" L'avevo scritto pure sopra!!
Grazie mille per il tuo aiuto!!
"grimx":
Detto in modo moolto grezzo e non formale:
Gli integrali impropri e gli integrali propri sono integrali definiti.
Nell'integrale proprio gli estremi di integrazione sono due numeri reali del dominio della funzione, comprendenti un intervallo tutto contenuto nel dominio.
Invece nell'integrale improprio gli estremi di integrazione possono essere $-oo$ e/o $+oo$ e/o punti di accumulazione del dominio ma non appartenenti ad esso. Anche entro l'intervallo delimitato dagli estremi di integrazione vi possono essere dei punti di accumulazione non appartenenti al dominio.
E per calcolare integrali impropri bisogna usare i limiti.
Ciao
Ciao, ieri sono andato a parlare con la mia prof...e mi ha levato anche questo dubbio!!! Ora ho capito cosa intendevi!!!
l'integrale proprio è la stessa cosa di quello definito, mentre l'integrale improprio è quello che hai detto tu!!! Grazie mille per il tentativo, ma non ci ero arrivavo..! =) Ero entrato proprio in tilt!!! =)
Tranquillo! Capita andare in pappa col cervello 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo