Dubbi su gradiente, derivabilità e differenziabilità
Non capisco perchè il gradiente di una funzione in due variabili individua la max/min pendenza della funzione.
Cioè ho trovato questa dimostrazione, ma non riesco a capire un passaggio:
$c$ è il versore (lo chiamo c perchè non so come si scrive lambda)
$(del (f)) /(del (c)) (P_0) $ = $ (nabla f(P_0),c )$
$|(del (f)) /(del (c)) (P_0) |$ = $| ((nabla f(P_0) ,c)) | <= ||nabla f(P_0) ||* ||c|| = ||nabla f(P_0) || rArr $
$ -||nabla f(P_0) ||<= (del (f)) /(del (c)) (P_0) <= ||nabla f(P_0) ||$
Quindi $(del (f)) /(del (c)) (P_0) $ è massimo se $(nabla f(P_0),c ) $ è parallelo a $c$
Ma cosa significano gli ultimi passaggi.??? ho capito fino alla disuguaglianza di Cauchy-Swartz, poi mi sono perso.
Perfavore aiutatemi è importantissimo.
Cioè ho trovato questa dimostrazione, ma non riesco a capire un passaggio:
$c$ è il versore (lo chiamo c perchè non so come si scrive lambda)
$(del (f)) /(del (c)) (P_0) $ = $ (nabla f(P_0),c )$
$|(del (f)) /(del (c)) (P_0) |$ = $| ((nabla f(P_0) ,c)) | <= ||nabla f(P_0) ||* ||c|| = ||nabla f(P_0) || rArr $
$ -||nabla f(P_0) ||<= (del (f)) /(del (c)) (P_0) <= ||nabla f(P_0) ||$
Quindi $(del (f)) /(del (c)) (P_0) $ è massimo se $(nabla f(P_0),c ) $ è parallelo a $c$
Ma cosa significano gli ultimi passaggi.??? ho capito fino alla disuguaglianza di Cauchy-Swartz, poi mi sono perso.
Perfavore aiutatemi è importantissimo.
Risposte
Trovo utile partire dalla Formula del gradiente.
Sia $ f: A rarr RR $ con $ A$ aperto di $RR^n$ ,$ f$ differenziabile in $vec x_0$ $ in A$.
Allora per ogni versore $ vec v $ esiste la derivata direzionale $D_(vec v)f(vec x_0) $ e vale l’identità : $D_(vec v)f(vec x_0) = nabla f(vec x_0)* vec v=sum_(i=1)^n (del f(vec x_0))/(del x_i) v_i $.[ Formula del gradiente]
La derivata direzionale è quindi il prodotto scalare del gradiente ($nabla$) con il versore nella cui direzione si deriva: tutte le derivate direzionali risultano così combinazione lineare delle derivate parziali.
Questo vale, è bene ribadirlo, nell’ipotesi che la funzione $f $ sia differenziabile in $vec x_0$.
*Corollario alla Formula del gradiente (Direzione di massima e minima crescita)
Sia $f :A rarr RR $ con $ A$ aperto di $RR^n, f $differenziabile in $vec x_0 in A$.
Allora il vettore $nabla f(vec x_0) $ indica la direzione ( e il verso) di massimo accrescimento di $f $ , ossia la direzione corrispondente alla massima derivata direzionale ; $ - nabla f(vec x_0) $ indica la direzione corrispondente alla minima derivata direzionale ( che in genere è negativa) ; infine nella direzione ortogonale al gradiente le derivate direzionali sono nulle .
Per dimostrare il corollario basta applicare la formula del gradiente e chiedersi:
- per quale versore $vec v $ il prodotto scalare $ nablaf(vec x_0) *vec v $ ( che da il valore della derivata nella direzione $vec v$ ) è massimo ? quando $vec v $ ha la direzione di $ nabla f(vec x_0)$
- e quando il prodotto scalare è minimo ? quando $vec v $ ha la stessa direzione di $ nabla f(vec x_0)$ ma verso opposto.
- Quando il prodotto scalare è nullo ? quando $vec v $ è ortogonale al gradiente.
Esempio . Sia $ f(x,y)= e^x+sen2y $.Calcolare le derivate direzionali nell’origine.
Poiché $ f in C^1(RR^2) $ è sufficiente calcolare il gradiente di $f $ :
$nabla f(x,y)= (e^x,2 cos2y) $
$nabla f(0,0) =(1,2)$
e quindi applicare la formula del gradiente : per ogni versore $vec v =(cos theta, sen theta) $
si ha : $D_(vec v)f(0,0) =nabla f(0,0) * vec v =(1,2)* ( cos theta, sen theta) = cos theta +2 sen theta$.
In particolare la derivata direzionale massima si ha per
$vec v= $vers $(nablaf(0,0))=(1/sqrt(5),2/sqrt(5)) $, quella minima per
$vec v= (-1/sqrt(5),-2/sqrt(5)) $ mentre nella direzione di $vec v = +-(2/sqrt(5),-1/sqrt(5)) $ la derivata direzionale è nulla .[ le direzioni $ +-(2/sqrt(5),-1/sqrt(5)) $ sono ortogonali alla direzione $+-(1/sqrt(5),2/sqrt(5)) $.
Sia $ f: A rarr RR $ con $ A$ aperto di $RR^n$ ,$ f$ differenziabile in $vec x_0$ $ in A$.
Allora per ogni versore $ vec v $ esiste la derivata direzionale $D_(vec v)f(vec x_0) $ e vale l’identità : $D_(vec v)f(vec x_0) = nabla f(vec x_0)* vec v=sum_(i=1)^n (del f(vec x_0))/(del x_i) v_i $.[ Formula del gradiente]
La derivata direzionale è quindi il prodotto scalare del gradiente ($nabla$) con il versore nella cui direzione si deriva: tutte le derivate direzionali risultano così combinazione lineare delle derivate parziali.
Questo vale, è bene ribadirlo, nell’ipotesi che la funzione $f $ sia differenziabile in $vec x_0$.
*Corollario alla Formula del gradiente (Direzione di massima e minima crescita)
Sia $f :A rarr RR $ con $ A$ aperto di $RR^n, f $differenziabile in $vec x_0 in A$.
Allora il vettore $nabla f(vec x_0) $ indica la direzione ( e il verso) di massimo accrescimento di $f $ , ossia la direzione corrispondente alla massima derivata direzionale ; $ - nabla f(vec x_0) $ indica la direzione corrispondente alla minima derivata direzionale ( che in genere è negativa) ; infine nella direzione ortogonale al gradiente le derivate direzionali sono nulle .
Per dimostrare il corollario basta applicare la formula del gradiente e chiedersi:
- per quale versore $vec v $ il prodotto scalare $ nablaf(vec x_0) *vec v $ ( che da il valore della derivata nella direzione $vec v$ ) è massimo ? quando $vec v $ ha la direzione di $ nabla f(vec x_0)$
- e quando il prodotto scalare è minimo ? quando $vec v $ ha la stessa direzione di $ nabla f(vec x_0)$ ma verso opposto.
- Quando il prodotto scalare è nullo ? quando $vec v $ è ortogonale al gradiente.
Esempio . Sia $ f(x,y)= e^x+sen2y $.Calcolare le derivate direzionali nell’origine.
Poiché $ f in C^1(RR^2) $ è sufficiente calcolare il gradiente di $f $ :
$nabla f(x,y)= (e^x,2 cos2y) $
$nabla f(0,0) =(1,2)$
e quindi applicare la formula del gradiente : per ogni versore $vec v =(cos theta, sen theta) $
si ha : $D_(vec v)f(0,0) =nabla f(0,0) * vec v =(1,2)* ( cos theta, sen theta) = cos theta +2 sen theta$.
In particolare la derivata direzionale massima si ha per
$vec v= $vers $(nablaf(0,0))=(1/sqrt(5),2/sqrt(5)) $, quella minima per
$vec v= (-1/sqrt(5),-2/sqrt(5)) $ mentre nella direzione di $vec v = +-(2/sqrt(5),-1/sqrt(5)) $ la derivata direzionale è nulla .[ le direzioni $ +-(2/sqrt(5),-1/sqrt(5)) $ sono ortogonali alla direzione $+-(1/sqrt(5),2/sqrt(5)) $.
grazie mille camillo , sei stato chiarissimo,sto studiando da due libri e nessuno spiega così chiaramente!!!!
Posso chiederti un'altra cosa?
Se ritieni che sia necessario aprire un altro topic,dimmelo e lo faccio, comunque ho questo dubbio:
Per dire che una funzione è derivabile devono esistere le due derivate parziali, giusto?
potresti farmi un esempio in cui queste derivate non esistono e quindi la funzione NON è derivabile??
Posso chiederti un'altra cosa?
Se ritieni che sia necessario aprire un altro topic,dimmelo e lo faccio, comunque ho questo dubbio:
Per dire che una funzione è derivabile devono esistere le due derivate parziali, giusto?
potresti farmi un esempio in cui queste derivate non esistono e quindi la funzione NON è derivabile??
Provvedo io... 
[tex]f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}[/tex]
Ovviamente nell'origine.
[tex]f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}[/tex]
Ovviamente nell'origine.
Aggiungo un po' di considerazioni.
Esplicitando il valore assoluto, dalla disuguaglianza di C-S segue (come già detto):
[tex]$-||Df(x_0)||\leq \langle Df(x_0),\nu \rangle \leq ||Df(x_0)||$[/tex]
ossia:
[tex]$-||Df(x_0)||\leq \langle \frac{\partial f}{\partial \nu} (x_0) \rangle \leq ||Df(x_0)||$[/tex],
sicché la funzione [tex]$\Phi: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$[/tex] che ad ogni direzione [tex]$\nu \in \mathbb{S}^{n-1}$[/tex] (qui [tex]$\mathbb{S}^{n-1}$[/tex] è la sfera unitaria di [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex], ossia [tex]$\mathbb{S}^{n-1}:=\{ \nu \in \mathbb{R}^n:\ ||\nu ||=1 \}$[/tex]) associa la corrispondente derivata direzionale [tex]$\frac{\partial f}{\partial \nu} (x_0)$[/tex] è limitata superiormente ed inferiormente e si ha:
[tex]$\inf_{\nu \in \mathbb{S}^{n-1}} \Phi \geq - ||Df(x_0)|| \quad \text{e} \quad \sup_{\nu \in \mathbb{S}^{n-1}} \Phi \leq ||Df(x_0)||$[/tex].
Cerchiamo di determinare effettivamente gli estremi di [tex]$\Phi$[/tex]: se si prende la direzione [tex]$\overline{\nu} =\frac{1}{||Df(x_0)||} \ Df(x_0)$[/tex], che per l'appunto è quella parallela al gradiente, si ottiene:
[tex]$\frac{\partial f}{\partial \overline{\nu}} (x_0) =\langle Df(x_0), \overline{\nu} \rangle = \frac{1}{||Df(x_0)||} \ \langle Df(x_0),Df(x_0) \rangle =\frac{1}{||Df(x_0)||} \ ||Df(x_0)||^2=||Df(x_0)||$[/tex]
quindi esiste una direzione [tex]$\nu$[/tex] tale che [tex]$\Phi (\overline{\nu}) =||Df(x_0)||$[/tex]; ma era [tex]$\sup_{\nu \in \mathbb{S}^{n-1}} \Phi \leq ||Df(x_0)||$[/tex], quindi quell'estremo superiore è in realtà un massimo ed abbiamo [tex]$\Phi(\overline{\nu}) =||Df(x_0)|| =\max_{\nu \in \mathbb{S}^{n-1}} \Phi$[/tex].
Visto che [tex]$\Phi (\nu)$[/tex] rappresenta la pendenda del grafico di [tex]$f$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex] lungo la direzione [tex]$\nu$[/tex], possiamo affermare che la direzione [tex]$\overline{\nu}$[/tex], ossia la direzione del gradiente [tex]$Df(x_0)$[/tex], è quella di massima pendenza per il grafico di [tex]$f$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex].
Analogamente si vede che [tex]$\underline{\nu} =-\frac{1}{||Df(x_0)||} \ Df(x_0)$[/tex] è una direzione tale che [tex]$\Phi (\underline{\nu}) = -||Df(x_0)||$[/tex]; ma era [tex]$\inf_{\nu \in \mathbb{S}^{n-1}} \Phi \geq -||Df(x_0)||$[/tex], quindi quell'estremo inferiore è in realtà un minimo e si ha [tex]$\Phi (\underline{\nu}) =-||Df(x_0)||=\min_{\nu \in \mathbb{S}^{n-1}} \Phi$[/tex].
Pertanto, come sopra, possiamo affermare che la direzione [tex]$\underline{\nu}$[/tex], ossia la direzione opposta a quella del gradiente [tex]$Df(x_0)$[/tex], è quella di minima pendenza per il grafico di [tex]$f$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex].
Esplicitando il valore assoluto, dalla disuguaglianza di C-S segue (come già detto):
[tex]$-||Df(x_0)||\leq \langle Df(x_0),\nu \rangle \leq ||Df(x_0)||$[/tex]
ossia:
[tex]$-||Df(x_0)||\leq \langle \frac{\partial f}{\partial \nu} (x_0) \rangle \leq ||Df(x_0)||$[/tex],
sicché la funzione [tex]$\Phi: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$[/tex] che ad ogni direzione [tex]$\nu \in \mathbb{S}^{n-1}$[/tex] (qui [tex]$\mathbb{S}^{n-1}$[/tex] è la sfera unitaria di [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex], ossia [tex]$\mathbb{S}^{n-1}:=\{ \nu \in \mathbb{R}^n:\ ||\nu ||=1 \}$[/tex]) associa la corrispondente derivata direzionale [tex]$\frac{\partial f}{\partial \nu} (x_0)$[/tex] è limitata superiormente ed inferiormente e si ha:
[tex]$\inf_{\nu \in \mathbb{S}^{n-1}} \Phi \geq - ||Df(x_0)|| \quad \text{e} \quad \sup_{\nu \in \mathbb{S}^{n-1}} \Phi \leq ||Df(x_0)||$[/tex].
Cerchiamo di determinare effettivamente gli estremi di [tex]$\Phi$[/tex]: se si prende la direzione [tex]$\overline{\nu} =\frac{1}{||Df(x_0)||} \ Df(x_0)$[/tex], che per l'appunto è quella parallela al gradiente, si ottiene:
[tex]$\frac{\partial f}{\partial \overline{\nu}} (x_0) =\langle Df(x_0), \overline{\nu} \rangle = \frac{1}{||Df(x_0)||} \ \langle Df(x_0),Df(x_0) \rangle =\frac{1}{||Df(x_0)||} \ ||Df(x_0)||^2=||Df(x_0)||$[/tex]
quindi esiste una direzione [tex]$\nu$[/tex] tale che [tex]$\Phi (\overline{\nu}) =||Df(x_0)||$[/tex]; ma era [tex]$\sup_{\nu \in \mathbb{S}^{n-1}} \Phi \leq ||Df(x_0)||$[/tex], quindi quell'estremo superiore è in realtà un massimo ed abbiamo [tex]$\Phi(\overline{\nu}) =||Df(x_0)|| =\max_{\nu \in \mathbb{S}^{n-1}} \Phi$[/tex].
Visto che [tex]$\Phi (\nu)$[/tex] rappresenta la pendenda del grafico di [tex]$f$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex] lungo la direzione [tex]$\nu$[/tex], possiamo affermare che la direzione [tex]$\overline{\nu}$[/tex], ossia la direzione del gradiente [tex]$Df(x_0)$[/tex], è quella di massima pendenza per il grafico di [tex]$f$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex].
Analogamente si vede che [tex]$\underline{\nu} =-\frac{1}{||Df(x_0)||} \ Df(x_0)$[/tex] è una direzione tale che [tex]$\Phi (\underline{\nu}) = -||Df(x_0)||$[/tex]; ma era [tex]$\inf_{\nu \in \mathbb{S}^{n-1}} \Phi \geq -||Df(x_0)||$[/tex], quindi quell'estremo inferiore è in realtà un minimo e si ha [tex]$\Phi (\underline{\nu}) =-||Df(x_0)||=\min_{\nu \in \mathbb{S}^{n-1}} \Phi$[/tex].
Pertanto, come sopra, possiamo affermare che la direzione [tex]$\underline{\nu}$[/tex], ossia la direzione opposta a quella del gradiente [tex]$Df(x_0)$[/tex], è quella di minima pendenza per il grafico di [tex]$f$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex].
"Mathcrazy":
grazie mille camillo , sei stato chiarissimo,sto studiando da due libri e nessuno spiega così chiaramente!!!!
Merito di Bramanti/Pagani/Salsa Analisi 2 , libro che ti consiglio
Al resto ha già provveduto Fioravante
"Camillo":Concordo, la parte sulle funzioni di più variabili è spiegata molto bene da quegli autori. Ma attenzione che parliamo del volume 1 (almeno, nell'edizione che conosco io, quella del 1995).
Merito di Bramanti/Pagani/Salsa Analisi 2 , libro che ti consiglio
Anche l'edizione del 2009, cui io mi riferisco è buona , senz'altro per il capitolo sulle funzioni di più variabili.
Grazie a tutti per la pazienza!! sopratutto a Gugo e camillo che mi hanno chiarito ogni dubbio su quella dimostrazione!
Ringrazio anche fioravante.
Riguardo l'esercizio proposto da fioravante:
$f(x,y) = sqrt (x^2+y^2)$
L'ho svolto così:
Premettendo che il dominio é: $x^2+y^2 >=0 $ cioè sono ammessi tutti i punti di $R^2$
Calcolo le derivate parziali:
$(del f)/(del x)= 1/(2sqrt(x^2+y^2))*(2x)$
$(del f)/(del y)= 1/(2sqrt(x^2+y^2))*(2y)$
Le derivate sono definite in $R^2 - (0,0)$, quindi in $(0,0)$ le derivate parziali non esistono, per cui in $(0,0)$ la funzione NON è derivabile,mentre per tutti i punti diversi da $(0,0)$ lo è!
E' esatto come ragionamento, oppure ho commesso qualche imprecisione?
Un'altra cosa:
Se il problema mi chiede di dire se la funzione $f(x,y) = sqrt (x^2+y^2)$ è differenziabile , usando il teorema di Diff totale, io devo verificare che le derivate parziali sono continue, giusto?
per farlo,poichè il punto che mi "da fastidio" è $(0,0)$ devo calcolare il $ lim_(x,y -> 0,0) (f(x,y)) $ e vedere se esiste finito.
Mi sbaglio?
Scusate la probabile banalità delle mie domande, ma ho appena iniziato a trattare questo argomento e abbiam fatto pochissimi esercizi.
.
Ringrazio anche fioravante.
Riguardo l'esercizio proposto da fioravante:
$f(x,y) = sqrt (x^2+y^2)$
L'ho svolto così:
Premettendo che il dominio é: $x^2+y^2 >=0 $ cioè sono ammessi tutti i punti di $R^2$
Calcolo le derivate parziali:
$(del f)/(del x)= 1/(2sqrt(x^2+y^2))*(2x)$
$(del f)/(del y)= 1/(2sqrt(x^2+y^2))*(2y)$
Le derivate sono definite in $R^2 - (0,0)$, quindi in $(0,0)$ le derivate parziali non esistono, per cui in $(0,0)$ la funzione NON è derivabile,mentre per tutti i punti diversi da $(0,0)$ lo è!
E' esatto come ragionamento, oppure ho commesso qualche imprecisione?
Un'altra cosa:
Se il problema mi chiede di dire se la funzione $f(x,y) = sqrt (x^2+y^2)$ è differenziabile , usando il teorema di Diff totale, io devo verificare che le derivate parziali sono continue, giusto?
per farlo,poichè il punto che mi "da fastidio" è $(0,0)$ devo calcolare il $ lim_(x,y -> 0,0) (f(x,y)) $ e vedere se esiste finito.
Mi sbaglio?
Scusate la probabile banalità delle mie domande, ma ho appena iniziato a trattare questo argomento e abbiam fatto pochissimi esercizi.
.
"Mathcrazy":
Riguardo l'esercizio proposto da fioravante:
$f(x,y) = sqrt (x^2+y^2)$
L'ho svolto così:
Premettendo che il dominio é: $x^2+y^2 >=0 $ cioè sono ammessi tutti i punti di $R^2$
Calcolo le derivate parziali:
$(del f)/(del x)= 1/(2sqrt(x^2+y^2))*(2x)$
$(del f)/(del y)= 1/(2sqrt(x^2+y^2))*(2y)$
Le derivate sono definite in $R^2 - (0,0)$, quindi in $(0,0)$ le derivate parziali non esistono, per cui in $(0,0)$ la funzione NON è derivabile,mentre per tutti i punti diversi da $(0,0)$ lo è!
E' esatto come ragionamento, oppure ho commesso qualche imprecisione?
Un'altra cosa:
Se il problema mi chiede di dire se la funzione $f(x,y) = sqrt (x^2+y^2)$ è differenziabile , usando il teorema di Diff totale, io devo verificare che le derivate parziali sono continue, giusto?
per farlo,poichè il punto che mi "da fastidio" è $(0,0)$ devo calcolare il $ lim_(x,y -> 0,0) (f(x,y)) $ e vedere se esiste finito.
Mi sbaglio?
Prima cosa evidenziata in rosso scuro:
attenzione, tu hai solo osservato che le formule trovate per le derivate parziali (date dall'applicazione della regola di derivazione delle funzioni composte) sono OK su $RR^2 \backslash {(0,0)}$. Il fatto che l'espressione che tu hai trovato non abbia senso in $(0,0)$ non ti garantisce che la funzione non sia parzialmente derivabile in $(0,0)$. E' un indizio, ma non una prova...
Devi studiare il limite del rapporto incrementale. Detto altrimenti, devi usare la definizione (ma è facile, perché ti riconduci alla verifica che il valore assoluto non è derivabile in zero).
Seconda cosa evidenziata in rosso. Attenzione: se sai che una funzione non ha derivate parziali in un punto, da questo puoi dedurre tranquillamente che non è differenziabile. Infatti, se una funzione è differenziabile in un punto, allora ha tutte le derivate parziali in quel punto (e anche tutte le derivate direzionali). Tieni presente (rispetto a quanto evidenziato in rosso) che una funzione può essere differenziabile in un punto senza necessariamente avere le derivate parziali continue in quel punto.
$f(x,y)=sqrt(x^2+y^2)$ . Il calcolo delle derivate parziali è quello che hai indicato ma nell'origine hai una forma indeterminata.
Proviamo allora ad usare la definizione di derivata , come limite del rapporto incrementale, per cui
$f_x(0,0)=lim_(x rarr 0)(f(x,0)-f(0,0))/(x-0) = lim_(x rarr 0) (sqrt(x^2)-0)/x= lim_(x rarr 0) |x|/x $ che non esiste, dunque $f_x $ nell'origine non esiste. Stesso discorso per $f_y(0,0) $: non esiste.
La funzione non è derivabile nell'origine , a maggior ragione non è differenziabile nell'origine e quindi non è dotata di piano tangente .(nell'origine)
Proviamo allora ad usare la definizione di derivata , come limite del rapporto incrementale, per cui
$f_x(0,0)=lim_(x rarr 0)(f(x,0)-f(0,0))/(x-0) = lim_(x rarr 0) (sqrt(x^2)-0)/x= lim_(x rarr 0) |x|/x $ che non esiste, dunque $f_x $ nell'origine non esiste. Stesso discorso per $f_y(0,0) $: non esiste.
La funzione non è derivabile nell'origine , a maggior ragione non è differenziabile nell'origine e quindi non è dotata di piano tangente .(nell'origine)
Grazie ragazzi, mi siete stati di vero aiuto!
Vi sarò ancora più grato se mi chiarite questo ulteriore dubbio:
https://www.matematicamente.it/forum/sig ... 54071.html
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https://www.matematicamente.it/forum/sig ... 54071.html
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