Dubbi su funzioni olomorfe e forme differenziali chiuse

[BDaniele1]

Ho un dubbio.
Cauchy dice che se una funzione $f(z)$ è olomorfa, allora la forma differenziale $f(z)dz = [u(z),v(z)]$ è chiusa.
Però le condizioni di Cahucy-Riemann dicono che perchè $f(z) = u(z) + iv(z)$ sia olomorfa occorre che
$ { ( ux = vy ),( uy = vx ):} $ (dove ux è la derivata parziale di u rispetto a x).

Però c'è una condizione (che il nostro prof ha chiamato di compatibilità) che dice che una forma è chiusa se e solo se è irrotazionale. Quindi mi viene spontaneo dire che perchè sia chiusa, deve essere $uy = vx$ (contro le condizioni di Cauchy-Riemann!)

Dove sbaglio?

Forse in campo complesso "l'irrotazionalità" si esprime diversamente?

Grazie

[BDaniele1]

Scusate.. forse ho capito adesso e mi sono reso conto dell'errore (abbastanza grave).

$f(z)dz = ( ( u(z) , -v(z) ),( v(z) , u(z) ) ) $, quindi le condizioni di irrotazionabilità sono:
$ { ( uy = -vx ),( vy = ux ):} $

Che sono proprio le condizioni di olomorfia.

Grazie cmq, ciao!