Dubbi su funzioni in due/tre variabili
Ciao a tutti!
Visto che sto preparando l'esame di Analisi 2, vorrei sottoporvi un paio di quesiti a risposta multipla che sono usciti in una delle prove dell'anno scorso: non riesco a capire le soluzioni che il docente ha scritto.
I quesiti sono:
Sia $f: RR^2->RR$ una funzione continua. Allora:
1) f è differenziabile se esitono le derivate parziali ${delf}/{delx}, {delf}/{dely}$ (falso, la funzione potrebbe comunque essere discontinua nel punto)
2) se f è differenziabile esistono le derivate parziali ${delf}/{delx}, {delf}/{dely}$ (a me sembra che questa sia vera!)
3) se f è differenziabile ed esistono le derivate parziali ${delf}/{delx}, {delf}/{dely}$, allora f è di classe C1 (il prof. ha segnato questa come unica vera)
4) f è differenziabile se esistono tutte le derivate direzionali (falso per lo stesso motivo della 2)
5) nessuna delle precedenti
A me sembra che anche la risposta 2) sia corretta, perché se la funzione è differenziabile in un punto allora per forza esistono non solo le derivate parziali, ma anche tutte le derivate direzionali, no? Sapete per caso fornirmi qualche controesempio?
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L'altro quesito è:
Sia Q una radice del sistema $f(x,y,z)=0$, $g(x,y,z)=0$ con f, g, di classe $C^1(RR^3)$. Il sistema è univocamente risolubile rispetto a y e z in un intorno di Q:
1) se $f_y(Q)≠0$
2) se $f_y(Q)≠0, g_z(Q)≠0$
3) se le derivate di f e g rispetto a y e z NON soddisfano la proporzione: ${f_y(Q)}/{f_z(Q)}={g_y(Q)}/{g_z(Q)}$
4) se in Q le quattro derivate di f e g rispetto a y e z sono diverse da 0
5) nessuna delle precedenti
La risposta corretta è la 3), ma non saprei come tradurla in fatti!
Io ho ragionato così: dal sistema ricavo un'unica funzione $H(x,y,z)=f(x,y,z)-g(x,y,z)=0$, occorre quindi che $H_y≠0, H_z≠0$ cioè $f_y(Q)≠0, g_y(Q)≠0$ oppure che $f_z(Q)≠0, g_z(Q)≠0$. Ma da qui come arrivo alla 3) ?
Il professore ha aggiunto questa osservazione: "la risposta indicata è corretta se si presuppone che la proporzione abbia senso (le derivate rispetto a z non si annullano), oppure se si interpreta che:
a : 0 ≠ c : d
a : 0 = c : 0
escludendo comunque di avere 0 : 0. Altrimenti meglio rispondere "nessuna delle precedenti"."
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Un altro esercizio, infine, su cui ho dei dubbi è questo:
Sia data una funzione $f(x,y,z) in C^1(RR^3)$, e sia S la superficie di livello di f passante per il punto $A=(2,2,1)$.
Sapendo che il piano tangente a S in A ha equazione $x-2y+2z=0$, si può determinare f(A)?
La soluzione è: "poiché anche il piano tangente passa per A, f(A)=2-4+2=0".
Io ho provato a ragionare così: A è una soluzione del sistema fra la superifice f=0 e il piano tangente g=x-2y+2z=0, quindi è una soluzione dell'equazione f=x-2y+2z... ma ha senso geometricamente? Cioè, come posso determinare l'immagine di un punto del dominio di f senza conoscere minimamente l'espressione della funzione o il valore della funzione sulla superficie di livello S??
Grazie mille a tutti coloro che vorranno rispondere!!
Visto che sto preparando l'esame di Analisi 2, vorrei sottoporvi un paio di quesiti a risposta multipla che sono usciti in una delle prove dell'anno scorso: non riesco a capire le soluzioni che il docente ha scritto.
I quesiti sono:
Sia $f: RR^2->RR$ una funzione continua. Allora:
1) f è differenziabile se esitono le derivate parziali ${delf}/{delx}, {delf}/{dely}$ (falso, la funzione potrebbe comunque essere discontinua nel punto)
2) se f è differenziabile esistono le derivate parziali ${delf}/{delx}, {delf}/{dely}$ (a me sembra che questa sia vera!)
3) se f è differenziabile ed esistono le derivate parziali ${delf}/{delx}, {delf}/{dely}$, allora f è di classe C1 (il prof. ha segnato questa come unica vera)
4) f è differenziabile se esistono tutte le derivate direzionali (falso per lo stesso motivo della 2)
5) nessuna delle precedenti
A me sembra che anche la risposta 2) sia corretta, perché se la funzione è differenziabile in un punto allora per forza esistono non solo le derivate parziali, ma anche tutte le derivate direzionali, no? Sapete per caso fornirmi qualche controesempio?
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L'altro quesito è:
Sia Q una radice del sistema $f(x,y,z)=0$, $g(x,y,z)=0$ con f, g, di classe $C^1(RR^3)$. Il sistema è univocamente risolubile rispetto a y e z in un intorno di Q:
1) se $f_y(Q)≠0$
2) se $f_y(Q)≠0, g_z(Q)≠0$
3) se le derivate di f e g rispetto a y e z NON soddisfano la proporzione: ${f_y(Q)}/{f_z(Q)}={g_y(Q)}/{g_z(Q)}$
4) se in Q le quattro derivate di f e g rispetto a y e z sono diverse da 0
5) nessuna delle precedenti
La risposta corretta è la 3), ma non saprei come tradurla in fatti!
Io ho ragionato così: dal sistema ricavo un'unica funzione $H(x,y,z)=f(x,y,z)-g(x,y,z)=0$, occorre quindi che $H_y≠0, H_z≠0$ cioè $f_y(Q)≠0, g_y(Q)≠0$ oppure che $f_z(Q)≠0, g_z(Q)≠0$. Ma da qui come arrivo alla 3) ?
Il professore ha aggiunto questa osservazione: "la risposta indicata è corretta se si presuppone che la proporzione abbia senso (le derivate rispetto a z non si annullano), oppure se si interpreta che:
a : 0 ≠ c : d
a : 0 = c : 0
escludendo comunque di avere 0 : 0. Altrimenti meglio rispondere "nessuna delle precedenti"."
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Un altro esercizio, infine, su cui ho dei dubbi è questo:
Sia data una funzione $f(x,y,z) in C^1(RR^3)$, e sia S la superficie di livello di f passante per il punto $A=(2,2,1)$.
Sapendo che il piano tangente a S in A ha equazione $x-2y+2z=0$, si può determinare f(A)?
La soluzione è: "poiché anche il piano tangente passa per A, f(A)=2-4+2=0".
Io ho provato a ragionare così: A è una soluzione del sistema fra la superifice f=0 e il piano tangente g=x-2y+2z=0, quindi è una soluzione dell'equazione f=x-2y+2z... ma ha senso geometricamente? Cioè, come posso determinare l'immagine di un punto del dominio di f senza conoscere minimamente l'espressione della funzione o il valore della funzione sulla superficie di livello S??
Grazie mille a tutti coloro che vorranno rispondere!!
Risposte
Ti ringrazio innanzitutto per la risposta.
Riguardo al quesito 1, grazie per il controesempio, in effetti sembrava strano anche a me, ma spesso sulle prove d'esame risolte ci sono errori nelle soluzioni... probabilmente questo è uno di quei casi!
Per il quesito 2:
intendi dire che se il determinante $ | ( f_y(Q) , f_z(Q) ),( g_y(Q) , g_z(Q) ) | $ è diverso da zero allora il sistema fra f e g si può risolvere rispetto a y e z tramite il metodo di Cramer?
Per il quesito 3:
Capisco il tuo esempio, il problema è che... non mi torna il numero di variabili!!
Mi spiego meglio... nel tuo esempio, il grafico di $f(x)$ e quello della sua tangente $t(x)=4x-4$ stanno entrambi in $RR^2$; come dici tu, se conosco il valore di una nel punto allora posso trovare il valore dell'altra basandomi sul fatto che è la tangente.
Nel mio esercizio, invece, il piano tangente è una funzione di due variabili $z(x,y)=2y-2z$ che ha un grafico in $RR^3$, mentre la funzione dipende da tre variabili e ha quindi un grafico in $RR^4$ con immagini che non stanno nello spazio $RR^3$... quindi come posso trovare l'immagine di A semplicemente basandomi sul piano tangente?
Mi sembra che, in una dimensione in meno, l'equivalente di questo problema sia questo (scelgo i numeri a caso!):
Data una funzione ignota z=f(x,y) e un punto $A=(x_0,y_0)$ determinare $z=f(A)$ sapendo che, nel piano, la retta tangente alla superficie di livello passante per A è la retta (ad esempio) y=2x+1... insomma, mi sembra che la tangente mi dia informazioni sulle curve di livello nel piano x,y, ma non dica nulla sulla quota effettiva (cioè l'immagine) del punto A!
Riguardo al quesito 1, grazie per il controesempio, in effetti sembrava strano anche a me, ma spesso sulle prove d'esame risolte ci sono errori nelle soluzioni... probabilmente questo è uno di quei casi!
Per il quesito 2:
intendi dire che se il determinante $ | ( f_y(Q) , f_z(Q) ),( g_y(Q) , g_z(Q) ) | $ è diverso da zero allora il sistema fra f e g si può risolvere rispetto a y e z tramite il metodo di Cramer?
Per il quesito 3:
Capisco il tuo esempio, il problema è che... non mi torna il numero di variabili!!
Mi spiego meglio... nel tuo esempio, il grafico di $f(x)$ e quello della sua tangente $t(x)=4x-4$ stanno entrambi in $RR^2$; come dici tu, se conosco il valore di una nel punto allora posso trovare il valore dell'altra basandomi sul fatto che è la tangente.
Nel mio esercizio, invece, il piano tangente è una funzione di due variabili $z(x,y)=2y-2z$ che ha un grafico in $RR^3$, mentre la funzione dipende da tre variabili e ha quindi un grafico in $RR^4$ con immagini che non stanno nello spazio $RR^3$... quindi come posso trovare l'immagine di A semplicemente basandomi sul piano tangente?
Mi sembra che, in una dimensione in meno, l'equivalente di questo problema sia questo (scelgo i numeri a caso!):
Data una funzione ignota z=f(x,y) e un punto $A=(x_0,y_0)$ determinare $z=f(A)$ sapendo che, nel piano, la retta tangente alla superficie di livello passante per A è la retta (ad esempio) y=2x+1... insomma, mi sembra che la tangente mi dia informazioni sulle curve di livello nel piano x,y, ma non dica nulla sulla quota effettiva (cioè l'immagine) del punto A!
"Sergio":
Grazie, ora ho capito il tuo dubbio e devo dire che... lo condivido.
Aspettiamo altri.
Grazie per la conferma
Potrebbe benissimo essere, ripeto, che il prof si sia distratto nello scrivere o il testo o la soluzione dell'esercizio; magari intendeva chiedere il valore della funzione definita implicitamente in A dalla superficie di livello...
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