Dubbi su esercizi di serie numeriche

[markolino]

Ragazzi avrei dei dubbi riguardo i seguenti esercizi sulle serie numeriche:

1. [tex]\sum_{n=0}^{5} \left | \sum_{m=0}^{4} A_m \delta(n-m) \right |^2 = \sum_{m=0}^{4} \left | A_m\right |^2[/tex]

2. [tex]\sum_{n=0}^{\infty} e^{-2n} = \frac {1}{1-e^{-2}}[/tex]

Non ho proprio capito la soluzione, perchè sono state risolte in questo modo?

[Clorinda1]

Direi che per quanto riguarda la seconda, si tratta della somma della serie geometrica di ragione $e^{-2}$!

[Zero87]

La butto lì, ma ricordo che in analisi superiore (e un altro corso che ora non mi viene in mente) con la scrittura $\delta_(n,m)$ o $\delta(n-m)$ si indicava una funzione che assumeva valore $1$ solo per $n=m$ mentre era $0$ negli altri casi.

Per la serie geometrica pensa che
$e^(-2n)=1/(e^(2n))$ dove $1/(e^(2n))<1$ quindi vale anche la convergenza.

[ot]Magari non frega a nessuno ma una metà delle dimostrazioni sulla $\zeta$ di Riemann (per $Re(s)>1$, quindi la prima definizione) passano attraverso una serie geometrica in cui occorre anche osservare che l'argomento è $\le 1$.[/ot]

[Clorinda1]

"Zero87":La butto lì, ma ricordo che in analisi superiore (e un altro corso che ora non mi viene in mente)

Meccanica quantistica? In questo contesto acquista significato in espressioni integrali del tipo:
$int_{-infty}^{+infty}f(x)\delta(x,a)dx=f(a)$ (1)
Rappresenta la particella localizzata e si può ottenere come limite di altre funzioni localizzate (es. funzioni a "scatola" o sinusoide smorzata.)

Per non andare troppo off-topic (eppure di cose da dire sulla funzione di Dirac ce ne sarebbero! ), ho provato a risolvere l'esercizio così:

-se $n=0$ allora la sommatoria $\sum_{m=0}^{4} |A_m \delta(n-m)|^{2}$ si riduce a essere $|1 \cdot A_{0} + 0 \cdot A_{1} + 0 \cdot A_{2} + 0 \cdot A_{3} + 0 \cdot A_{4}|^{2}$
-se $n=1$ allora la sommatoria $\sum_{m=0}^{4} |A_m \delta(n-m)|^{2}$si riduce a essere $|0 \cdot A_{0} + 1 \cdot A_{1} + 0 \cdot A_{2} + 0 \cdot A_{3} + 0 \cdot A_{4}|^{2}$
-se $n=2$ allora la sommatoria $\sum_{m=0}^{4} |A_m \delta(n-m)|^{2}$ si riduce a essere $|0 \cdot A_{0} + 0 \cdot A_{1} + 01\cdot A_{2} + 0 \cdot A_{3} + 0 \cdot A_{4}|^{2}$
-se $n=3$ allora la sommatoria $\sum_{m=0}^{4} |A_m \delta(n-m)|^{2}$ si riduce a essere $|0 \cdot A_{0} + 0 \cdot A_{1} + 0 \cdot A_{2} + 1 \cdot A_{3} + 0 \cdot A_{4}|^{2}$
-se $n=4$ allora la sommatoria $\sum_{m=0}^{4} |A_m \delta(n-m)|^{2}$ si riduce a essere $|0 \cdot A_{0} + 0 \cdot A_{1} + 0 \cdot A_{2} + 0 \cdot A_{3} + 1 \cdot A_{4}|^{2}$

se $n=5$ la $\delta$ di Dirac è sempre nulla.

Quindi si ottiene la seguente somma: $|A_{0}|^2+...+|A_{4}|^2=\sum_{m=0}^{4}|A_{m}|^{2}$

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[size=85]Questa soluzione mi sembra poco elegante, forse si può fare di meglio? [/size]
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[Zero87]

Piccolo ot @Clorinda.

"Clorinda":[quote="Zero87"]La butto lì, ma ricordo che in analisi superiore (e un altro corso che ora non mi viene in mente)

Meccanica quantistica?[/quote]
Credo analisi numerica dove comparivano un mucchio di prodotti scalari ma non ne sono sicuro (per il resto, da noi in analisi superiore si faceva relatività generale)...

[Clorinda1]

"Zero87":
(per il resto, da noi in analisi superiore si faceva relatività generale)...

Really?

Scelta interessante; io invece l'avevo studiata in Fisica 2, condensata in 7 CFU assieme all'elettromagnetismo!

[Zero87]

"Clorinda":[quote="Zero87"]
(per il resto, da noi in analisi superiore si faceva relatività generale)...

Really? [/quote]
All'epoca mia (AA 2010-2011) era relatività generale. Ora c'è una mia amica che frequenta e ha detto che il corso è sulle equazioni differenziali alle derivate parziali ma sempre analisi superiore si chiama.