Dubbi su disuguaglianza

[Sling]

Salve a tutti.
Mi servirebbe il vostro aiuto per capire lo svolgimento di un esercizio.
Nel calcolo di un limite in due variabili ad un certo punto bisogna dimostrare che $e^((xy^2)/(x^2+y^4))$ è una quantità limitata. Per fare ciò le soluzioni riportano che:

Visto che $|(xy^2)/(x^2+y^4)|<=1/2 AA (x,y) != (0,0)$ si ha che $lim_{(x,y)->(0,0)} xy^2e^((xy^2)/(x^2+y^4))=0$

Forse è banale ma non capisco come abbia fatto ad assumere questa disuguaglianza. Qualcuno può aiutarmi?

[killing_buddha]

Probabilmente quella cosa si nota vedendo che cosa diventa la funzione passata in coordinate polari.

[Sling]

Passando alle coordinate polari ottengo:

$|(\rho^3 cos(\theta) sin^2(\theta))/(\rho^2 cos^2(\theta)+\rho^4 sin^4(\theta))| = (\rho|cos(\theta)| sin^2(\theta))/(cos^2(\theta)+\rho^2 sin^4(\theta))$

Continuo a non vedere come la si possa maggiorare con $1/2$ (tra l'altro per come è stata presentata nelle soluzioni dovrebbe essere una cosa ovvia ).

[orsoulx]

Quella diseguaglianza si dimostra immediatamente osservando che $ (x^2+y^4)/2 $ è la media aritmetica di $ x^2 $ e $ y^4 $, mentre $ xy^2 $ ne è la media geometrica. Com'è noto la prima è sempre non minore ( uguale sse. i due termini sono uguali) della seconda.
Oppure con pochi passaggi partendo da $ (x+y^2)^2 >=0 $ e sviluppando il quadrato.
Ciao

[Sling]

Grazie!
Mi ero totalmente dimenticato dell'esistenza della media geometrica.

[orsoulx]

Prego, ciao.