Dubbi su di un limite

n.icola114
Ciao, vorrei un vostro parere su di questo limite(nessun obbligo, naturalmente)

$lim_(xrarr+oo)((x - 1)/(x + 3))^(x - 2) = e^(lim_(xrarr+oo)(x - 2)log((x - 1)/(x + 3))) = e^L$
$L = lim_(xrarr+oo)(x - 2)log(1 + (-4/(x + 3)))$ visto che $-4/(x + 3)$ tende a zero, faccio una sostituzione per ricondurmi ad un limite notevole
$y = -4/(x + 3)$ quindi $x = 12 - 4/y$ perciò
$lim_(yrarr0)y(12 - 4/y - 2)log(1 + y)/y = -4$ infine $e^-4$
non sono sicuro del risultato perchè non ho la soluzione
ma ciò che più mi importa e che non sono sicuro neanche della sostituzione

utilizzando un programma per lo studio di una funzione e a meno che non abbia sbagliato qualcosa(ma ho controllato)
per lui le due funzioni, quella prima e quella dopo la sostituzione, sono diverse quindi è lecito fare quello che ho fatto?

Risposte
fireball1
Sì, il risultato è corretto.
Più semplicemente, invece di sostituire $y=-4/(x+3)$
bastava usare il fatto che $log(1-4/(x+3))~~ -4/(x+3)$
per $x->+oo$, proprio per il famoso limite notevole
del logaritmo, e quindi rimpiazzando il logaritmo
con la frazione si ha $L=lim_(x->+oo) -4 (x-2)/(x+3) = -4

n.icola114
Grazie fireball

Penso di aver capito anche il motivo per cui le due funzioni a me sembrano diverse
ed è perchè ribalto la funzione passando dalle ascisse alle ordinate quando utilizzo la sostituzione, giusto?

Posso chiederti anche se esistono delle condizioni per cui non è possibile utilizzare la stima asintotica ?

fireball1
La stima asintotica è semplicemente una notazione.
Se $x_0 in RR^**$ è un punto di accumulazione del dominio
di due funzioni reali di una variabile $f(x)$ e $g(x)$,
allora: $f(x) ~~ g(x) <=> f(x) = g(x) + o(g(x))$ per $x->x_0$.

n.icola114
Grazie di tutto, devo continuare a studiarci su di queste cose

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