Dubbi su derivate parziali prime

[KatieP]

Ho la funzione definita per casi : f(0,0) = 0 e f(x,y) = x^3*y/(x^2+ y^2) per (x,y) diverso da (0,0) . Per calcolare le derivate prime nel punto (0,0) il mio libro applica le regole di derivazione a f(x,y) e poi calcola il limite per (x,y) tendente a (0,0) della funzione, dimostrando che è 0. La mia domanda è: perché questo non si poteva dedurre dal valore f(0,0)? Cioè, se la funzione in quel punto è costantemente uguale a 0, non si sarebbe potuto dedurre da questo che anche la derivata è nulla in (0,0)? Perché abbiamo bisogno di calcolare il limite della derivata nel generico punto (x,y)? Grazie

[gio73]

"nereide": Cioè, se la funzione in quel punto è costantemente uguale a 0, non si sarebbe potuto dedurre da questo che anche la derivata è nulla in (0,0)?

mmm... il valore di una funzione in un punto è uguale al valore della sua derivata in quel punto?

prova con una funzione in una variabile nell'origine

$y=x^2$

e poi

$y=x^2 +4$

[KatieP]

No, il valore della derivata non è sempre uguale al valore assunto dalla funzione in un punto, ma la derivata di 0 è 0.

[gio73]

mmm

funzione definita per tratti

$y=(x^2(x-1))/x$ ovunque
$y=0$ se x=0

cosa mi dici della derivata nell'origine?

[KatieP]

Okay, la derivata calcolata con il limite del rapporto incrementale mi viene -1 e se invece trovassi la derivata di y=0 sarebbe 0. Quindi mi sembra di capire che se una funzione non è continua in un punto, posso trovare la derivata solo calcolando il limite del rapporto incrementale e non applicando le regole di derivazione all'una o all'altra espressione della funzione per tratti. È giusto?

[gio73]

direi di sì

[bosmer-votailprof]

"nereide":Okay, la derivata calcolata con il limite del rapporto incrementale mi viene -1 e se invece trovassi la derivata di y=0 sarebbe 0. Quindi mi sembra di capire che se una funzione non è continua in un punto, posso trovare la derivata solo calcolando il limite del rapporto incrementale e non applicando le regole di derivazione all'una o all'altra espressione della funzione per tratti. È giusto?

Scusa ma perché dici che la funzione non è continua? la funzione nell'origine è chiaramente continua.

Per il secondo punto, non è sempre vero; quello che devi osservare è se la derivata esiste in un intorno del punto in interesse e se il limite della derivata della funzione in quel punto esiste finito allora la funzione è derivabile e ha derivata pari al limite.
Solo se tale limite non esiste allora devi per forza utilizzare la definizione di derivata.

Infatti nel tuo caso la derivata della prima espressione è per $x\ne 0$ pari a $\frac{2x^3-x^2}{x^2}$ adesso se svolgo il limite ottengo che
$$
\lim_{x\to 0}\frac{2x^3-x^2}{x^2}=-1
$$

quindi la derivata in 0 della tua funzione vale $-1$ , il tutto senza ricorrere al limite del rapporto incrementale.

Se il precedente limite non esistesse finito allora li si che devi per forza ricorrere al limite del rapporto incrementale.

Questo per funzioni di una variabile s'intende. Questo dovrebbe rispondere anche alla prima domanda, nel senso che non è che abbiamo bisogno di calcolare la derivata in un generico punto e farne il limite, semplicemente (quando questo è possibile) è la strada più semplice in alcuni casi, in altri casi è più semplice applicare la definizione di derivata.

[KatieP]

Ti ringrazio, tutto chiarissimo ancora una volta