Dubbi su definizioni in analisi 2
Ciao, sto cercando di capire quando un punto di $R^2$ è un punto di accumulazione per un generico sottoinsieme A di $R^2$. In analisi 1 un punto di accumulazione poteva o meno appartenere all'insieme considerato, mentre un punto isolato apparteneva all'insieme rispetto al qual era isolato. Non ho capito se in analisi 2 è la stessa cosa o il contrario. Ho capito quando un punto è interno , esterno o è un punto di frontiera per un sottoinsieme di $R^2$invece mi vengono dei dubbi quando vado a studiare la definizione di punto di accumulazione in $R^2$.In particolare il testo dice che un punto di frontiera di un insieme può o no essere un punto di accumulazione per quell'insieme. Ma non lo è sempre?
Inoltre non mi dice quando un punto è isolato.Mi dice solo che i punti di A che non sono di accumulazione sono punti isolati di A.
Grazie a tutti.
Inoltre non mi dice quando un punto è isolato.Mi dice solo che i punti di A che non sono di accumulazione sono punti isolati di A.
Grazie a tutti.
Risposte
"JackPirri":
Ciao, sto cercando di capire quando un punto di $R^2$ è un punto di accumulazione per un generico sottoinsieme A di $R^2$. In analisi 1 un punto di accumulazione poteva o meno appartenere all'insieme considerato, mentre un punto isolato apparteneva all'insieme rispetto al qual era isolato. Non ho capito se in analisi 2 è la stessa cosa o il contrario.
Stessa cosa.
"JackPirri":
In particolare il testo dice che un punto di frontiera di un insieme può o no essere un punto di accumulazione per quell'insieme. Ma non lo è sempre?
No.
Già in $RR$ un punto di frontiera può non essere d’accumulazione. Considera l’insieme $X:= [0,1] uu \{ 2\}$: chi sono i punti di accumulazione? E quelli di frontiera?
"JackPirri":
Inoltre non mi dice quando un punto è isolato.Mi dice solo che i punti di A che non sono di accumulazione sono punti isolati di A.
Questa è la definizione di “punto isolato”... Che vuoi di più?
Ciao, la definizione di punto di frontiera dice: un generico punto di $R^2$ è un punto di frontiera per A se ogni intorno circolare del punto contiene sia punti di A che del complementare di A.
Considerando la definizione di punto di accumulazione (se in ogni intorno circolare del punto di $R^2$ considerato esiste almeno un punto di A diverso da esso),non si ha che i punti di frontiera la soddisfano?
Ho recuperato la definizione di punto isolato data dalla prof: un punto di $R^2$ è isolato rispetto ad A se esiste un intorno circolare del punto che non contiene nessun punto di A. Non coincide con la definzione di punto esterno ad A?Dunque tutti i punti esterni ad A sono isolati rispetto ad A.Ma i punti esterni ad A non appartengono ad A giusto?
Infine i punto interni ad A sono tutti punti di accumulazione per A.
in sostanza ci sono tre possibilità: un punto può essere interno, esterno o essere un punto di frontiera per A.
Le mie considerazioni le ho fatte basandomi sulle definizione sopracitate e sul fatto che un sottoinsieme di $R^2$ lo rappresento( geometricamente) nel piano cartesiano($R^2$) attraverso una figura piana contenuta nel piano .
Se sto sbagliando,ti prego di correggermi.Grazie mille.
Considerando la definizione di punto di accumulazione (se in ogni intorno circolare del punto di $R^2$ considerato esiste almeno un punto di A diverso da esso),non si ha che i punti di frontiera la soddisfano?
Ho recuperato la definizione di punto isolato data dalla prof: un punto di $R^2$ è isolato rispetto ad A se esiste un intorno circolare del punto che non contiene nessun punto di A. Non coincide con la definzione di punto esterno ad A?Dunque tutti i punti esterni ad A sono isolati rispetto ad A.Ma i punti esterni ad A non appartengono ad A giusto?
Infine i punto interni ad A sono tutti punti di accumulazione per A.
in sostanza ci sono tre possibilità: un punto può essere interno, esterno o essere un punto di frontiera per A.
Le mie considerazioni le ho fatte basandomi sulle definizione sopracitate e sul fatto che un sottoinsieme di $R^2$ lo rappresento( geometricamente) nel piano cartesiano($R^2$) attraverso una figura piana contenuta nel piano .
Se sto sbagliando,ti prego di correggermi.Grazie mille.
Considera l'insieme $A$ ottenuto unendo:
- [*:1c7s6ssw] il cerchio aperto (cioè senza bordo) di centro $O$ e raggio $1$;
[/*:m:1c7s6ssw]
[*:1c7s6ssw] la semicirconferenza di centro $O$, raggio $1$ ed estremi $(1,0)$ e $(-1,0)$ che giace nel semipiano $y<=0$;
[/*:m:1c7s6ssw]
[*:1c7s6ssw] il punto $(0,2)$.[/*:m:1c7s6ssw][/list:u:1c7s6ssw]
Disegna l'insieme.
Quali sono i punti interni/esterni/di frontiera?
Quali sono i punti di accumulazione?
Quali sono i punti isolati?
Credo di aver capito.Non avevo capito bene la definizione di punto di frontiera.
Ci riprovo, anche questa volta ti chiedo di correggermi se dovessi sbagliare.
.Un punto di $R^2$ che è interno ad $A sube R^2$ allora appartiene ad $A$, ma non vale il contrario:un punto che appartiene ad A potrebbe essere un punto di frontiera per A;
.Un punto esterno ad A allora non appartiene ad A, ma non vale neanche qui il contrario;
.Un punto di frontiera per A può appartenere o meno ad A, ma sono punti che non sono nè interni e nè esterni ad A;
.Un punto di frontiera è di accumulazione per A se appartiene ad A ed in ogni intorno circolare del punto esiste almeno un punto di A distinto da esso, se non appartiene ad A e soddisfa la definizione appena citata, o se non appartiene ad A ed esiste un intorno circolare del punto ,escluso il punto stesso, formato esclusivamente da punti di A ( è isolato rispetto al complementare di A);
.Un punto di frontiera non è di accumulazione (è isolato) se appartiene ad A ed esiste un intorno circolare del punto che non contiene alcun punto di A distinto da esso;
.Un punto isolato è sempre un punto di frontiera; e non è mai un punto esterno all'insieme rispetto al quale è isolato.
Ci riprovo, anche questa volta ti chiedo di correggermi se dovessi sbagliare.
.Un punto di $R^2$ che è interno ad $A sube R^2$ allora appartiene ad $A$, ma non vale il contrario:un punto che appartiene ad A potrebbe essere un punto di frontiera per A;
.Un punto esterno ad A allora non appartiene ad A, ma non vale neanche qui il contrario;
.Un punto di frontiera per A può appartenere o meno ad A, ma sono punti che non sono nè interni e nè esterni ad A;
.Un punto di frontiera è di accumulazione per A se appartiene ad A ed in ogni intorno circolare del punto esiste almeno un punto di A distinto da esso, se non appartiene ad A e soddisfa la definizione appena citata, o se non appartiene ad A ed esiste un intorno circolare del punto ,escluso il punto stesso, formato esclusivamente da punti di A ( è isolato rispetto al complementare di A);
.Un punto di frontiera non è di accumulazione (è isolato) se appartiene ad A ed esiste un intorno circolare del punto che non contiene alcun punto di A distinto da esso;
.Un punto isolato è sempre un punto di frontiera; e non è mai un punto esterno all'insieme rispetto al quale è isolato.
Hai provato a svolgere l’esercizio che ti ho proposto? Che risultati ne hai tirato fuori?
Provare ad usare le definizioni per analizzare un esempio concreto è un’ottima strada per comprendere se hai capito o no tali definizioni.
Per quanto riguarda il resto:
Certo.
Sì.
Questa è una proposizione equivalente alla definizione; quindi sì.
Il che è un modo complicatissimo per dire che un punto di frontiera è di accumulazione quando soddisfa la definizione di punto di accumulazione... Insomma, una tautologia.
Il che è un modo complicato per dire che un punto di frontiera è isolato se soddisfa la definizione di punto isolato... Tautologia, come sopra.
La prima parte ok.
La seconda è ovvia, dato che un punto isolato di $A$ non appartiene al complementare di $A$ e perciò non può essere un punto esterno ad $A$.
Ad ogni buon conto, prova ad analizzare l’esercizio che ti ho proposto sopra ed ad individuare i vari punti interessanti dell’insieme $A$ formato come in figura:
[asvg]xmin = -2; xmax = 2; ymin = -2; ymax =2;
axes("","");
stroke = "peachpuff"; fill = "peachpuff"; circle([0,0], 1);
fill = "none"; strokewidth = 2; stroke = "red"; arc([-1,0], [1,0], 1); dot([0,2]); dot([1,0]); dot([-1,0]);[/asvg]
Provare ad usare le definizioni per analizzare un esempio concreto è un’ottima strada per comprendere se hai capito o no tali definizioni.
Per quanto riguarda il resto:
"JackPirri":
Un punto di $ R^2 $ che è interno ad $ A sube R^2 $ allora appartiene ad $ A $, ma non vale il contrario:un punto che appartiene ad A potrebbe essere un punto di frontiera per A;
Certo.
"JackPirri":
Un punto esterno ad A allora non appartiene ad A, ma non vale neanche qui il contrario;
Sì.
"JackPirri":
Un punto di frontiera per A può appartenere o meno ad A, ma sono punti che non sono nè interni e nè esterni ad A;
Questa è una proposizione equivalente alla definizione; quindi sì.
"JackPirri":
Un punto di frontiera è di accumulazione per A se appartiene ad A ed in ogni intorno circolare del punto esiste almeno un punto di A distinto da esso, se non appartiene ad A e soddisfa la definizione appena citata, o se non appartiene ad A ed esiste un intorno circolare del punto ,escluso il punto stesso, formato esclusivamente da punti di A ( è isolato rispetto al complementare di A);
Il che è un modo complicatissimo per dire che un punto di frontiera è di accumulazione quando soddisfa la definizione di punto di accumulazione... Insomma, una tautologia.
"JackPirri":
Un punto di frontiera non è di accumulazione (è isolato) se appartiene ad A ed esiste un intorno circolare del punto che non contiene alcun punto di A distinto da esso;
Il che è un modo complicato per dire che un punto di frontiera è isolato se soddisfa la definizione di punto isolato... Tautologia, come sopra.
"JackPirri":
Un punto isolato è sempre un punto di frontiera; e non è mai un punto esterno all'insieme rispetto al quale è isolato.
La prima parte ok.
La seconda è ovvia, dato che un punto isolato di $A$ non appartiene al complementare di $A$ e perciò non può essere un punto esterno ad $A$.
Ad ogni buon conto, prova ad analizzare l’esercizio che ti ho proposto sopra ed ad individuare i vari punti interessanti dell’insieme $A$ formato come in figura:
[asvg]xmin = -2; xmax = 2; ymin = -2; ymax =2;
axes("","");
stroke = "peachpuff"; fill = "peachpuff"; circle([0,0], 1);
fill = "none"; strokewidth = 2; stroke = "red"; arc([-1,0], [1,0], 1); dot([0,2]); dot([1,0]); dot([-1,0]);[/asvg]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo