Dubbi su compito di Analisi B
Salve, provando a fare una prova di analisi b mi sono venuti i
seguenti dubbi nei seguenti esercizi.
Più che la bontà dei conti mi interessa sapere se il procedimento è giusto
$sum_(n=0)^(infty) frac{2^n + 3^n}{5^n+2^n}x^n$ trovare il raggio di
convergenza della serie di potenze.
Allora il limite di
$lim_( n \to \infty) root(n)(frac{2^n + 3^n}{5^n+2^n}) = 3/5$
da cui il raggio di convergenza è 5/3 che è una delle risposte valide.
Unico problema è che non mi ricordo esattamente il passaggio per
ottenere il limite, visto che ci sono andato a "naso".
2)
data la successione di funzioni $(1 - x) e^(n(x-4))$
1) trovare la funzione limite e insieme di convergenza.
se $x>4$ la funzione diverge a infinito
se $x = 4$ la funzione si riduce a $ -3 $
se $x < 4$ la funzione converge a $0$
La funzione limite è $f(x) = (-3$ se$ x = 4, 0 se x < 4)$
Insieme di convergenza è $ I = (-\infty,4] $
2) la funzione converge uniformemente per I?
La funzione $f_n(x)$ e continua, $f(x)$ no da cui per il teorema delle
funzioni continue no.(si chiamava cosi?)
E giusto il ragionamento?
3) converge uniformemente per $(\infty,0]$?
$ max_(x \in (\infty,0]) |((1 - x) e^(n(x-4)))|$
La derivata prima vale.
$e^(n(x-4)) (1-n(1-x))
Si annulla solo per $frac{n-1}{n}$ che è fuori dall'intervallo. in più nell'intervallo è sempre negativa.
Perciò la funzione assume massimo in $(\infty,0]$ nel punto 0.
$ max_(x \in (\infty,0]) |((1 - x) e^(n(x-4)))| = e^(-4n)$ il quale limite per $n \to \infty = 0$
Perciò converge uniformemente.
es 3.
data la funzione $f(x,y) = x^2 + x^2y -3y$
Per i punti 1, 2 direi nessun problema il punto 3 mi lascia senza risposte
3) stabilire se esiste un punto $(x_0,y_0) t.c. f(x_0,y_0) = 4.
come faccio questo punto?
Grazie.
seguenti dubbi nei seguenti esercizi.
Più che la bontà dei conti mi interessa sapere se il procedimento è giusto
$sum_(n=0)^(infty) frac{2^n + 3^n}{5^n+2^n}x^n$ trovare il raggio di
convergenza della serie di potenze.
Allora il limite di
$lim_( n \to \infty) root(n)(frac{2^n + 3^n}{5^n+2^n}) = 3/5$
da cui il raggio di convergenza è 5/3 che è una delle risposte valide.
Unico problema è che non mi ricordo esattamente il passaggio per
ottenere il limite, visto che ci sono andato a "naso".
2)
data la successione di funzioni $(1 - x) e^(n(x-4))$
1) trovare la funzione limite e insieme di convergenza.
se $x>4$ la funzione diverge a infinito
se $x = 4$ la funzione si riduce a $ -3 $
se $x < 4$ la funzione converge a $0$
La funzione limite è $f(x) = (-3$ se$ x = 4, 0 se x < 4)$
Insieme di convergenza è $ I = (-\infty,4] $
2) la funzione converge uniformemente per I?
La funzione $f_n(x)$ e continua, $f(x)$ no da cui per il teorema delle
funzioni continue no.(si chiamava cosi?)
E giusto il ragionamento?
3) converge uniformemente per $(\infty,0]$?
$ max_(x \in (\infty,0]) |((1 - x) e^(n(x-4)))|$
La derivata prima vale.
$e^(n(x-4)) (1-n(1-x))
Si annulla solo per $frac{n-1}{n}$ che è fuori dall'intervallo. in più nell'intervallo è sempre negativa.
Perciò la funzione assume massimo in $(\infty,0]$ nel punto 0.
$ max_(x \in (\infty,0]) |((1 - x) e^(n(x-4)))| = e^(-4n)$ il quale limite per $n \to \infty = 0$
Perciò converge uniformemente.
es 3.
data la funzione $f(x,y) = x^2 + x^2y -3y$
Per i punti 1, 2 direi nessun problema il punto 3 mi lascia senza risposte
3) stabilire se esiste un punto $(x_0,y_0) t.c. f(x_0,y_0) = 4.
come faccio questo punto?
Grazie.
Risposte
uppo visto che mi manca ancora la risposta. 
Beh, dopo più di 3 mesi direi che ne hai il diirtto 
Ti consiglierei però di cambiare il titolo. Così come è non dice un granché (ed emana un certo odore di provincialismo).
Ti consiglierei però di cambiare il titolo. Così come è non dice un granché (ed emana un certo odore di provincialismo).
"lishi":
3) stabilire se esiste un punto $(x_0,y_0) t.c. f(x_0,y_0) = 4.
come faccio questo punto?
Grazie.
Basta esibire un punto tale che... ad esempio $(x_0,y_0)=(0,-4/3)$ va bene. Altrimenti magari ti danno un punto che sia più grande del max della funzione o più piccolo del min (calcolati prima nell'esercizio...), ma in generale altrimenti il punto deve esistere o l'esercizio mi sembrerebbe troppo difficile per funzioni qualunque.
L'esercizio 2 è svolto bene.
Il teorema che applichi si chiama Teorema sulla continuità del limite uniforme.
Per quanto riguarda il limite di $((2^n+3^n)/(5^n+2^n))^(1/n)$ basta mettere in evidenza $3^n$ al numeratore e $5^n$ al denominatore per ottenere $3/5*((1+(2/3)^n)/(1+(2/5)^n))^(1/n)$; visto che $lim_n(2/3)^n=0=lim_n(2/5)^n$ hai $((2^n+3^n)/(5^n+2^n))^(1/n) to 3/5$.
Basta esibire un punto tale che... ad esempio $(x_0,y_0)=(0,-4/3)$ va bene.[/quote]
Beh, $(x_0,y_0)=(2,0)$ è lo stesso.
Visto che $f(x,y)=x^2+x^2y-3y$ hai $f_x(x,y)=2x(1+y)$ ed $f_y(x,y)=x^2-3$; visto che $f_y(2,0)=1$ l'equazione $f(x,y)=4$ determina almeno una funzione $phi(x)$ il cui grafico si trova intorno a $(2,0)$ ed è interamente fatto di soluzioni dell'equazione (per il Teorema del Dini sulle funzioni implicite): evidentemente si ha:
$f(x,y)=4 quad hArr quad (x^2-3)y=4-x^2 quad => quad y=(4-x^2)/(x^2-3)$
e perciò basta porre $phi(x)=(4-x^2)/(x^2-3)$ ($phi$ è da considerarsi definita in $]sqrt3, +oo[$ che è intorno di $x_0=2$).
Il teorema che applichi si chiama Teorema sulla continuità del limite uniforme.
Per quanto riguarda il limite di $((2^n+3^n)/(5^n+2^n))^(1/n)$ basta mettere in evidenza $3^n$ al numeratore e $5^n$ al denominatore per ottenere $3/5*((1+(2/3)^n)/(1+(2/5)^n))^(1/n)$; visto che $lim_n(2/3)^n=0=lim_n(2/5)^n$ hai $((2^n+3^n)/(5^n+2^n))^(1/n) to 3/5$.
"david_e":
[quote="lishi"]3) stabilire se esiste un punto $(x_0,y_0) t.c. f(x_0,y_0) = 4.
come faccio questo punto?
Grazie.
Basta esibire un punto tale che... ad esempio $(x_0,y_0)=(0,-4/3)$ va bene.[/quote]
Beh, $(x_0,y_0)=(2,0)$ è lo stesso.
Visto che $f(x,y)=x^2+x^2y-3y$ hai $f_x(x,y)=2x(1+y)$ ed $f_y(x,y)=x^2-3$; visto che $f_y(2,0)=1$ l'equazione $f(x,y)=4$ determina almeno una funzione $phi(x)$ il cui grafico si trova intorno a $(2,0)$ ed è interamente fatto di soluzioni dell'equazione (per il Teorema del Dini sulle funzioni implicite): evidentemente si ha:
$f(x,y)=4 quad hArr quad (x^2-3)y=4-x^2 quad => quad y=(4-x^2)/(x^2-3)$
e perciò basta porre $phi(x)=(4-x^2)/(x^2-3)$ ($phi$ è da considerarsi definita in $]sqrt3, +oo[$ che è intorno di $x_0=2$).
Già non avevo pensato alle funzioni implicite... sicuramente la soluzione di Gugo82 è molto più completa e puntuale della mia. Lascia anche perdere le considerazioni che ho fatto dopo perché in effetti sono un po' superficiali.
@david_e
Non sono d'accordo.
La domanda era: "trovare un p.to t.c." e quindi le considerazioni di Gugo82, per quanto interessanti, sono "fuori tema" o, meglio, oltre la domanda posta.
L'idea di trovare max e min per accertarsi di essere "fuori range" ("fuori rango"? ) non e' male. Puo' essere spropositata rispetto alla richiesta ma in casi disperati potrebbe servire (per dare una risposta negativa).
Visto che la funzione e' lineare in y, si poteva provare a fissare un valore arbitrario della x e poi risolvere l'equazione di primo grado ottenuta.
Non sono d'accordo.
La domanda era: "trovare un p.to t.c." e quindi le considerazioni di Gugo82, per quanto interessanti, sono "fuori tema" o, meglio, oltre la domanda posta.
L'idea di trovare max e min per accertarsi di essere "fuori range" ("fuori rango"?
) non e' male. Puo' essere spropositata rispetto alla richiesta ma in casi disperati potrebbe servire (per dare una risposta negativa).Visto che la funzione e' lineare in y, si poteva provare a fissare un valore arbitrario della x e poi risolvere l'equazione di primo grado ottenuta.
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