Dubbi su calcolo limite semplice
Salve ragazzi, sto provando a svolgere alcuni esempi di calcolo di limiti presi da tracce di esami di analisi matematica. Non è da molto tempo che sto studiando i limiti quindi avrei qualche dubbio su quest'esercizio, cioè calcolare:
$\lim_{x \to \0}(sin^2(x)*(e^(tan^2(x))-1))/(sqrt(1+ln(1+2x^4))-1)$
Ho provato a svolgere l'esercizio usando le equivalenze asintotiche, e se non vado errato:
$sin^2(x)$ equivale a $x^2$
$e^(tan^2(x))-1$ equivale a $tan^2(x)$
$sqrt(1+ln(1+2x^4)$ equivale a $sqrt(2x^4)$
Pertanto si arriva a...
$(x^2*tan^2(x))/(sqrt(1+2x^4)-1)$
E' corretto? Ha senso proseguire? Per quest'esercizio conveniva usare gli sviluppi di Taylor? Grazie intanto...
$\lim_{x \to \0}(sin^2(x)*(e^(tan^2(x))-1))/(sqrt(1+ln(1+2x^4))-1)$
Ho provato a svolgere l'esercizio usando le equivalenze asintotiche, e se non vado errato:
$sin^2(x)$ equivale a $x^2$
$e^(tan^2(x))-1$ equivale a $tan^2(x)$
$sqrt(1+ln(1+2x^4)$ equivale a $sqrt(2x^4)$
Pertanto si arriva a...
$(x^2*tan^2(x))/(sqrt(1+2x^4)-1)$
E' corretto? Ha senso proseguire? Per quest'esercizio conveniva usare gli sviluppi di Taylor? Grazie intanto...
Risposte
Ciao GlassPrisoner91,
Si può risolvere coi limiti notevoli:
$\lim_{x \to \0}(sin^2(x)*(e^(tan^2(x))-1))/(sqrt(1+ln(1+2x^4))-1) = 1$
Moltiplica numeratore e denominatore per $sqrt(1+ln(1+2x^4))+1$ e fai uso dei soliti noti limiti notevoli...
Si può risolvere coi limiti notevoli:
$\lim_{x \to \0}(sin^2(x)*(e^(tan^2(x))-1))/(sqrt(1+ln(1+2x^4))-1) = 1$
Moltiplica numeratore e denominatore per $sqrt(1+ln(1+2x^4))+1$ e fai uso dei soliti noti limiti notevoli...
Oppure dal punto dove sei arrivato, continuando ad usare gli asintotici puoi scrivere ancora:
$tan^2 (x)~~x^2$, inoltre $sqrt (1+2x^4)=(1+2x^4)^(1/2)~~(1+(1/2)2x^4) $, sostituendo hai
$lim_(x->0)(x^2×x^2)/(1+x^4-1)=1$
N.B. le equivalenze asintotiche sono uno sviluppo lineare che corrisponde allo sviluppo in serie di Taylor arrestato al primo termine in $x $
$tan^2 (x)~~x^2$, inoltre $sqrt (1+2x^4)=(1+2x^4)^(1/2)~~(1+(1/2)2x^4) $, sostituendo hai
$lim_(x->0)(x^2×x^2)/(1+x^4-1)=1$
N.B. le equivalenze asintotiche sono uno sviluppo lineare che corrisponde allo sviluppo in serie di Taylor arrestato al primo termine in $x $
Ottimo, grazie per le dritte. Questo altro limite se ho fatto bene i conti dovrebbe far $0$, è corretto?
$\lim_{x \to \0}(1/sinx-1/(e^x-1))$
...sapendo che sia $sinx$ che $e^x-1$ equivalgono a $x$, arrivo a:
$\lim_{x \to \0}(1/x-1/x) = 0$
Quando i conti risultano troppo facili c'è probabilmente qualcosa che non va.
$\lim_{x \to \0}(1/sinx-1/(e^x-1))$
...sapendo che sia $sinx$ che $e^x-1$ equivalgono a $x$, arrivo a:
$\lim_{x \to \0}(1/x-1/x) = 0$
Quando i conti risultano troppo facili c'è probabilmente qualcosa che non va.
No, attento, devi ridurre il tutto al m.c.m, quindi $=lim_(x->0)(e^x-1-sinx)/((e^x-1)×sinx) $ $=lim_(x->0)(e^x-1-sinx)/x^2$ in questo caso però a numeratore non puoi usare le equivalenze asintotiche in quanto si ha sicuramente il coinvolgimento di termini successivi al primo termine di sviluppo in $x $, pertanto e' necessario uno sviluppo di taylor più accurato , $e^x-1=x+x^2/2+o (x^2) $,
$sinx=x-x^3/6+o (x^3) $,
sostituisci e prova ad eseguire i calcoli!
La forma del limite che hai proposto è una forma indeterminata del tipo $infty-infty $, pertanto non si possono applicare le consuete operazioni algebriche sui limiti, bisogna eliminare prima la forma indeterminata!
$sinx=x-x^3/6+o (x^3) $,
sostituisci e prova ad eseguire i calcoli!
La forma del limite che hai proposto è una forma indeterminata del tipo $infty-infty $, pertanto non si possono applicare le consuete operazioni algebriche sui limiti, bisogna eliminare prima la forma indeterminata!
Questo è un piccolo limite che dovrebbe essere piuttosto facile ma stranamente non mi trovo, ecco il limite, dovrebbe risultare 0:
$\lim_{x \to \infty}(1-x)/e^x$
Secondo i miei calcoli sono arrivato a:
$(-x(1/-x-1))/e^x$
Infine facendo i conti risulta $+-\infty$ (in base al limite del tendere a infinito positivo o negativo), ma non mi risulta 0, dove sbaglio?
$\lim_{x \to \infty}(1-x)/e^x$
Secondo i miei calcoli sono arrivato a:
$(-x(1/-x-1))/e^x$
Infine facendo i conti risulta $+-\infty$ (in base al limite del tendere a infinito positivo o negativo), ma non mi risulta 0, dove sbaglio?
basta che ti ricordi che $$\lim_{x \to \infty} (x/e^x) = 0$$
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