Dubbi su analisi matematica

azzurra981
Salve ragazzi ho dei dubbi su alcuni argomenti di analisi matematica.

- Cosa significa che la funzione è derivabile nel suo dominio?

- Nell'espressione
$int_a^(x_0+h) f(t)dt-int_a^(x_0) f(t)dt=int_(x_0)^(x_0+h) f(t)dt$
per quale teorema o proprietà posso scrivere il secondo membro, cioè qual è quel teorema che mi permette di cambiare gli estremi in quel modo?

E poi ho un dubbio su un passaggio relativo al problema di Cauchy... se posto solo il dubbio si riesce a capire senza che scriva tutto il teorema? grazie

Risposte
Noisemaker
Basta "sfogliare" un libro di Analisi I ...

    [*:1vs5746t]Sia $f:D\to\mathbb{R},D\subseteq \mathbb{R}$ e sia poi $x_0 \in A.$ Si dice poi che f è derivabile in $x_0$ se esiste ed è finito
    \[\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.\]
    Tale limite si chiama derivata di $f$ nel punto $x_0$ e si denota equivalentemente con
    \[f'(x_0).\][/*:m:1vs5746t]
    [*:1vs5746t]Alcune definizioni elementari (essendo definizioni non devono essere dimostrate) impongono che se $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ è una funzione integrabile nell'intervallo $[a,b]$ con $a \begin{align*}
    \int_{a}^{b}f(x)dx= -\int_{b}^{a}f(x)dx,\qquad\int_{a}^{a}f(x)dx= 0;\end{align*}
    quindi l'uguaglianza che hai scritto riesci a ricavarla abbastanza faclmente...., tra l'altro senza usare queste defizioni.[/*:m:1vs5746t][/list:u:1vs5746t]

dissonance
Sono d'accordo che sono cose che si trovano su qualsiasi libro di Analisi 1, un po' meno sono d'accordo sul secondo punto.

Intanto, almeno la seconda proprietà non è una definizione, ma una cosa da dimostrare partendo dalla definizione di integrale, che è un'altra cosa. La prima invece è una convenzione che uno in genere assume per non doversi preoccupare eccessivamente degli estremi di integrazione. Possiamo discutere se sia una definizione o no ma sarebbe un discorso noioso e poco produttivo.

In ogni modo, quelle due proprietà dell'integrale definito non sono sufficienti a dimostrare quanto richiesto. Per questo occorre conoscere qualcosa in più, e specialmente la proprietà di *additività* dell'integrale definito rispetto al dominio.

Noisemaker
"dissonance":
Possiamo discutere se sia una definizione o no ma sarebbe un discorso noioso e poco produttivo.


sono d'accordo :-)
"dissonance":
... quelle due proprietà dell'integrale definito non sono sufficienti a dimostrare quanto richiesto. Per questo occorre conoscere qualcosa in più, e specialmente la proprietà di *additività* dell'integrale definito rispetto al dominio.


Vero! questa è una mancanza in ciò che ho scritto.

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