Dubbi su 2 Serie numeriche

[pier_IP]

Ciao a tutti, ho alcuni dubbi su due serie numeriche.
Ho provato a studiarne il comportamento

1)
$ \sum_{n=1}^(+oo) sen^2(1/n) $ e' a termini positivi.
La condizione necessaria dice che puo' anche convergere
uso il criterio del confronto con la serie $b_n = 1/n^2$, posso dire che $ sen^2(1/n) <= 1/n^2 $ ?

Se vale la disequazione allora $\sum_{n=1}^(+oo) 1/n^2 $ converge $ rArr \sum_{n=1}^(+oo) sen^2(1/n) $ converge

Il dubbio e' nella disequazione $ sen^2(1/n) <= 1/n^2 rArr ( sen^2(1/n) ) / (1/n^2) <= 1 $ Posso fare il limite per dimostrarlo?
$\lim_{n -> +oo} ( sen^2(1/n) ) / (1/n^2) = \lim_{n->+oo} (sen(1/n))/(1/n) * (sen(1/n))/(1/n) = 1$

Si possono dimostrare le disequazioni facendo il limite del rapporto?


2)
$ \sum_{n=1}^(+oo) ( n/(n+x) )^ (n^2) $ uso il criterio della radice

$\lim_{n->+oo} ( n/(n+x) ) ^ n = \lim_{n->+oo} e^(n log(n/(n+x)) ) = $ passo all'esponente
$ \lim_{n->+oo} n( log(n) - log(n+x) ) = \lim_{n->+oo} ( log(n) - log(n+x) ) / (1/n) = $ uso Hopital
$\lim_{n->+oo} (1/n - 1/(n+x))/(-1/n^2) = $
$ \lim_{n->+oo} -( x/(n+x) )*n^2 = -x rArr $ tornando in e $ rArr e^(-x) $

E quindi si dovrebbe avere
$ \{(1/e^x>1 rArr x<0 rArr \text{converge}),(1/e^x=1 rArr x=0 rArr \text{non si sa} ),( 1/e^x<1 rArr x>0 rArr \text{diverge} ):} $

Per $x=0$ si puo' sostituire direttamente la x nella serie
$\sum_{n=1}^(+oo) ( n/(n+0) )^ (n^2) $ Quindi si scopre che la serie e' $ rArr \sum_{n=1}^(+oo) 1^(n^2)$ quindi diverge

Tutti questi passaggi sono esatti?


Scusate per questo uso forse eccessivo della notazione ASCIIMathML, ho cercato di essere piu' chiaro possibile.

[Sk_Anonymous]

La seguente affermazione:

$[\lim_{n->+oo}f(n)/g(n)=1] rarr [f(n)<=g(n)]$

è falsa. In ogni modo:

$sen(1/n)<1/n$

in quanto la corda è minore dell'arco.

[pier_IP]

"speculor":La seguente affermazione:
$[\lim_{n->+oo}f(n)/g(n)=1] rarr [f(n)<=g(n)]$
è falsa.

Ok

$sen(1/n)<1/n$
in quanto la corda è minore dell'arco.

Ok, quindi usare il criterio del confronto con $1/(n^2)$ e' lecito.

E per quanto riguarda la seconda serie proposta i passaggi sono corretti?

[Sk_Anonymous]

Meglio come limite notevole:

$\lim_{n->+oo}(n/(n+x))^n =\lim_{n->+oo}(1/(1+x/n))^n=\lim_{n->+oo}[(1+x/n)^n]^(-1)=e^(-x)$

In ogni modo, hai sbagliato la discussione.

[pier_IP]

"pier_IP":
$ \{(1/e^x>1 rArr x<0 rArr \text{converge}),(1/e^x=1 rArr x=0 rArr \text{non si sa} ),( 1/e^x<1 rArr x>0 rArr \text{diverge} ):} $

Se l'errore e' qui allora ho solo sbagliato a ricopiare . Infatti e' l'esatto contrario: per $x<0$ diverge e per $x>0$ converge

Se invece c'e' un vero errore, allora potresti gentilmente dirmi qual e' ?

[Sk_Anonymous]

Ok. Volevo farti comunque notare che la serie era mal definita per $x=-n$.