Dubbi serie di potenze
Salve a tutti...
Devo risolvere il seguente esercizio:
Si consideri la serie di potenze definita da $f(z)=\sum_{n=1}^\infty (z^(2n-1)/(n!))$. Si trovi il raggio di convergenza R della serie e si trovi l'espressione di f all'interno del raggio di convergenza.
Cosa vuol dire trovare l'espressione di f all'interno del raggio di convergenza? Come si procede?
E in questo caso, per trovare il raggio di convergenza, mi conviene operare una sostituzione?
Grazie mille dei vostri aiuti..
Devo risolvere il seguente esercizio:
Si consideri la serie di potenze definita da $f(z)=\sum_{n=1}^\infty (z^(2n-1)/(n!))$. Si trovi il raggio di convergenza R della serie e si trovi l'espressione di f all'interno del raggio di convergenza.
Cosa vuol dire trovare l'espressione di f all'interno del raggio di convergenza? Come si procede?
E in questo caso, per trovare il raggio di convergenza, mi conviene operare una sostituzione?
Grazie mille dei vostri aiuti..
Risposte
Intanto trova il raggio di convergenza, poi ne riparliamo. Volendo puoi operare una sostituzione per portare la serie nella forma $suma_nz^n$, ma io penso si faccia prima applicando brutalmente il criterio della radice e calcolando $lim_{n\toinfty}(\frac{z^{2n-1}}{n!})^{1/n}$. Poi bisogna discutere il risultato ottenuto.
Dovendo calcolare $\lim_{n \to \infty}root(n)|a_n|$, tale limite dovrebbe essere $\lim_{n \to \infty}root(n)|1/(n!)|$ e quindi zero. Perciò il raggio di convergenza dovrebbe essere più infinito e l'intervallo di convergenza tutto R.
E' giusto?
E' giusto?
Si e no. Mi rendo conto che sono pignolerie, ma (IMHO) conviene affrontarle almeno una volta per non sbagliare in seguito (o per non trovarsi in contrasto con professori pedanti!).
Quello a cui stai facendo riferimento è un criterio (di Cauchy-Hadamard, così lo conosco io), valido per serie di potenze, ovvero della forma
$a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+...+a_n(z-z_0)^n+...$ (nel seguito supporrò sempre $z_0=0$ per comodità).
La tua serie però non è in questa forma, perché è
$z+1/2z^3+1/6z^5+...+1/(n!)z^(2n-1)+...$
e dove sono i termini di grado pari?
___________________________
Quindi: o riscrivi la serie come
$0+z+0z^2+1/2z^3+0z^4+1/6z^5+...$
e applichi il criterio di C.-H. alla successione dei coefficienti, ovvero
$(0, 1, 0, 1/2, 0, 1/6, 0, ..., 1/n!, 0, ...)$ (e ottieni lo stesso risultato di prima perché questa successione è evidentemente infinitesima)
oppure ti dimentichi del criterio di C.-H. e fai un discorso di convergenza puntuale, ovvero:
sia $z\inRR$ (o anche in $CC$). Dal momento che $lim_{n\toinfty}(\frac{z^(2n-1)}{n!})^(1/n)=lim_{n\toinfty}\frac{z^\frac{2n-1}{n}}{(n!)^(1/n)}=0$ (a numeratore c'è una successione limitata, a denominatore una infinita); segue per il criterio della radice (di convergenza per serie numeriche) che la serie numerica
$z+1/2z^3+1/6z^5+...+1/(n!)z^(2n-1)+...$ converge. Essendo quanto detto vero $\forallz\inRR$ (o anche $z\inCC$), il raggio di convergenza è $R=infty$.
Spero di non aver confuso le idee con questo post. Come vedi il tuo risultato è giusto ma un professore pignolo potrebbe segnalare questa falla nel procedimento.
[edit] qualche modifica minore.
Quello a cui stai facendo riferimento è un criterio (di Cauchy-Hadamard, così lo conosco io), valido per serie di potenze, ovvero della forma
$a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+...+a_n(z-z_0)^n+...$ (nel seguito supporrò sempre $z_0=0$ per comodità).
La tua serie però non è in questa forma, perché è
$z+1/2z^3+1/6z^5+...+1/(n!)z^(2n-1)+...$
e dove sono i termini di grado pari?
___________________________
Quindi: o riscrivi la serie come
$0+z+0z^2+1/2z^3+0z^4+1/6z^5+...$
e applichi il criterio di C.-H. alla successione dei coefficienti, ovvero
$(0, 1, 0, 1/2, 0, 1/6, 0, ..., 1/n!, 0, ...)$ (e ottieni lo stesso risultato di prima perché questa successione è evidentemente infinitesima)
oppure ti dimentichi del criterio di C.-H. e fai un discorso di convergenza puntuale, ovvero:
sia $z\inRR$ (o anche in $CC$). Dal momento che $lim_{n\toinfty}(\frac{z^(2n-1)}{n!})^(1/n)=lim_{n\toinfty}\frac{z^\frac{2n-1}{n}}{(n!)^(1/n)}=0$ (a numeratore c'è una successione limitata, a denominatore una infinita); segue per il criterio della radice (di convergenza per serie numeriche) che la serie numerica
$z+1/2z^3+1/6z^5+...+1/(n!)z^(2n-1)+...$ converge. Essendo quanto detto vero $\forallz\inRR$ (o anche $z\inCC$), il raggio di convergenza è $R=infty$.
Spero di non aver confuso le idee con questo post. Come vedi il tuo risultato è giusto ma un professore pignolo potrebbe segnalare questa falla nel procedimento.
[edit] qualche modifica minore.
Sì è molto chiaro quello che scrivi e ti ringrazio per la precisione.
Potresti per favore darmi qualche aiuto anche sul seguito dell'esercizio, ovvero come trovare l'espressione all'interno del raggio di convergenza? Non mi è stato spiegato molto bene come procedere per risolvere l'esercizio.
Ti ringrazio
Potresti per favore darmi qualche aiuto anche sul seguito dell'esercizio, ovvero come trovare l'espressione all'interno del raggio di convergenza? Non mi è stato spiegato molto bene come procedere per risolvere l'esercizio.
Ti ringrazio
Per trovare una espressione esplicita da una serie di potenze non c'è un metodo generale. Una possibilità viene dal fatto che noi conosciamo le derivate di $f$ (per noti teoremi, le serie di potenze si possono derivare termine a termine).
Ad esempio, se volessimo esplicitare $y(x)=sum_{n=1}^infty(-1)^n(x^(2n+1))/((2n+1)!)$ potremmo derivare due volte, osservando (con un po' di calcoli) che $y''(x)+y(x)=0$. Aggiungendo le condizioni iniziali $y(0)=0, y'(0)=1$ ricavate direttamente dalla serie di potenze, abbiamo ottenuto che $y$ è l'unica soluzione del problema di Cauchy
${(y''+y=0), (y'(0)=1), (y(0)=0):}$, ovvero $y(x)=sinx$.
Hai provato a fare qualcosa del genere per la tua $f(z)$? Se ho tempo poi ci provo anche io.
Ad esempio, se volessimo esplicitare $y(x)=sum_{n=1}^infty(-1)^n(x^(2n+1))/((2n+1)!)$ potremmo derivare due volte, osservando (con un po' di calcoli) che $y''(x)+y(x)=0$. Aggiungendo le condizioni iniziali $y(0)=0, y'(0)=1$ ricavate direttamente dalla serie di potenze, abbiamo ottenuto che $y$ è l'unica soluzione del problema di Cauchy
${(y''+y=0), (y'(0)=1), (y(0)=0):}$, ovvero $y(x)=sinx$.
Hai provato a fare qualcosa del genere per la tua $f(z)$? Se ho tempo poi ci provo anche io.
"dissonance":
Per trovare una espressione esplicita da una serie di potenze non c'è un metodo generale.
Vero.
Però molte volte, quando è chiesto di determinare l'espressione elementare della somma di una s.d.p., basta ricordare un po' gli sviluppi in serie delle funzioni note (esponenziale, trigonometriche, logaritmo, etc...).
Questo è uno di quei casi.
"Lale":
$f(z)=\sum_{n=1}^\infty (z^(2n-1)/(n!))$. Si trovi il raggio di convergenza R della serie e si trovi l'espressione di f all'interno del raggio di convergenza.
Per quanto riguarda il raggio di convergenza, la risposta di dissonanca fuga ogni dubbio.
Per quanto riguarda la somma della serie, basta ricordare lo sviluppo in serie dell'esponenziale $"e"^zeta=\sum_(n=0)^(+oo) zeta^n/(n!)=1+zeta+zeta^2/2+\ldots +zeta^n/(n!)+\ldots $ e ragionare come segue.
Innanzitutto portiamo un $z^(-1)$ fuori dalla sommatoria, scrivendo:
$\sum_(n=1)^(+oo) z^(2n-1)/(n!) =1/z \sum_(n=1)^(+oo) z^(2n)/(n!)$
e notiamo che la serie a secondo membro è riconducibile ad una serie di tipo esponenziale con la sostituzione $z^2=zeta$: infatti:
$\sum_(n=1)^(+oo) z^(2n)/(n!) " con " z^2=zeta \to \sum_(n=1)^(+oo) zeta^n/(n!)="e"^zeta-1$
(il $-1$ all'ultimo membro viene fuori dal fatto che la serie $\sum_(n=1)^(+oo) zeta^n/(n!)$ manca dell'addendo di indice $0$, il quale è proprio uguale ad $1$); ne viene che:
$\sum_(n=1)^(+oo) z^(2n)/(n!) ="e"^(z^2)-1$
ed infine:
$f(z)=\sum_(n=1)^(+oo) z^(2n-1)/(n!) =("e"^(z^2)-1)/z$.
@Lale: 
ahio... meno male che è intervenuto Gugo. Alla luce della sua soluzione vedo che $f$ e $f'$ non dipendono linearmente (infatti $f'(z)=2zf^2(z)$). E' ugualmente vero che $f$ risolve un problema di Cauchy semplice, ma arrivarci dalla serie di potenze sarebbe stata una impresa. In sostanza con il metodo da me proposto ti saresti cacciata in un bel ginepraio 
...
ahio... meno male che è intervenuto Gugo. Alla luce della sua soluzione vedo che $f$ e $f'$ non dipendono linearmente (infatti $f'(z)=2zf^2(z)$). E' ugualmente vero che $f$ risolve un problema di Cauchy semplice, ma arrivarci dalla serie di potenze sarebbe stata una impresa. In sostanza con il metodo da me proposto ti saresti cacciata in un bel ginepraio ...
Grazie mille ad entrambi..adesso ho tutto molto più chiaro per merito vostro..dovrò ripassarmi un po' gli sviluppi in serie..
molto gentili davvero..
molto gentili davvero..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo