Dubbi serie
Ciao a tutti, ho due dubbi molto stupidi riguardo alle serie numeriche.
1) Supponiamo di avere una serie numerica a segni alterni dipendente da un parametro $x inRR$ nella forma $sum(-1)^na_n(x)$. Imponendo una condizione sul parametro del tipo $x in(a,b)$, affinché si abbia convergenza secondo Leibniz la successione associata deve essere monotòna decrescente su tutto $RR$ oppure è sufficiente che lo sia solo localmente sull'intervallo $(a,b)$?
Questo dubbio mi sorge da un suggerimento del professore: anziché studiare direttamente la successione $n$, dovremmo studiare la funzione associata $f(x)$. Ha senso fare questo, o è equivalente allo studio di $d/(dn)a_n$? E' possibilissimo che abbia interpretato male il suggerimento, ovviamente...
2) In generale, affinché un esponenziale $a^x$ esista deve essere $a>0$. Se ho una serie della forma $sum a^xb_n$ devo quindi escludere a priori i valori negativi di $a$, oppure, nello studio della convergenza assoluta $sum |a^xb_n|$ può essere che si abbia ugualmente convergenza?
1) Supponiamo di avere una serie numerica a segni alterni dipendente da un parametro $x inRR$ nella forma $sum(-1)^na_n(x)$. Imponendo una condizione sul parametro del tipo $x in(a,b)$, affinché si abbia convergenza secondo Leibniz la successione associata deve essere monotòna decrescente su tutto $RR$ oppure è sufficiente che lo sia solo localmente sull'intervallo $(a,b)$?
Questo dubbio mi sorge da un suggerimento del professore: anziché studiare direttamente la successione $n$, dovremmo studiare la funzione associata $f(x)$. Ha senso fare questo, o è equivalente allo studio di $d/(dn)a_n$? E' possibilissimo che abbia interpretato male il suggerimento, ovviamente...
2) In generale, affinché un esponenziale $a^x$ esista deve essere $a>0$. Se ho una serie della forma $sum a^xb_n$ devo quindi escludere a priori i valori negativi di $a$, oppure, nello studio della convergenza assoluta $sum |a^xb_n|$ può essere che si abbia ugualmente convergenza?
Risposte
"Jeronimus":
1) Supponiamo di avere una serie numerica a segni alterni dipendente da un parametro $x inRR$ nella forma $sum(-1)^na_n(x)$. Imponendo una condizione sul parametro del tipo $x in(a,b)$, affinché si abbia convergenza secondo Leibniz la successione associata deve essere monotòna decrescente su tutto $RR$ oppure è sufficiente che lo sia solo localmente sull'intervallo $(a,b)$?
Questo dubbio mi sorge da un suggerimento del professore: anziché studiare direttamente la successione $n$, dovremmo studiare la funzione associata $f(x)$. Ha senso fare questo, o è equivalente allo studio di $d/(dn)a_n$? E' possibilissimo che abbia interpretato male il suggerimento, ovviamente...
Occhio... Per applicare Leibniz, devi ritenere $x$ fissato in $(a,b)$ e provare che la successione $a_n(x)$ è decrescente rispetto ad $n$ (ossia che $a_(n+1)(x) <= a_n(x)$).
Se il ragionamento che usi per provare la monotonia rimane valido per qualsiasi $x\in (a,b)$, allora la serie converge per tutti i valori del parametro; altrimenti no, e converge solo per $x\in X\subset (a,b)$ (con $X$ opportuno insieme dei valori del parametro per i quali riesci ad applicare Leibniz).
"Jeronimus":
2) In generale, affinché un esponenziale $a^x$ esista deve essere $a>0$. Se ho una serie della forma $sum a^xb_n$ devo quindi escludere a priori i valori negativi di $a$, oppure, nello studio della convergenza assoluta $sum |a^xb_n|$ può essere che si abbia ugualmente convergenza?
Dipende da dove vive il parametro $x$... Ad esempio, se $x$ è intero, le potenze $a^x$ sono tutte definite (a parte forse $a=0$) e dunque ti vanno bene tutti gli $a\in RR$ (ad eccezione al più di $0$); oppure, se $x$ è reale positivo, puoi considerare $a>=0$.
Insomma, la questione dei parametri va affrontata tenendo presenti le definizioni delle funzioni elementari.
Per il primo punto, ti ringrazio, ho capito.
Per il secondo, il dubbio nasceva da un esercizio del tipo $sum (n+1)x^n/(n!)$
Poiché $x inRR$ considero $x>=0$.
Applicando il criterio del rapporto mi viene $|x|/n^2rarr0forallx inRR$.
Come mi comporto quindi rispetto al dubbio di prima? Mi rendo conto sia piuttosto stupido, ma mi crea problemi ugualemente...
Per il secondo, il dubbio nasceva da un esercizio del tipo $sum (n+1)x^n/(n!)$
Poiché $x inRR$ considero $x>=0$.
Applicando il criterio del rapporto mi viene $|x|/n^2rarr0forallx inRR$.
Come mi comporto quindi rispetto al dubbio di prima? Mi rendo conto sia piuttosto stupido, ma mi crea problemi ugualemente...
No, aspetta... Dato che l'esponente $n$ è un naturale, la potenza $x^n$ ha significato per ogni $x\in RR$.
Perciò, lo studio della convergenza va fatto considerando $x\in RR$ e non solo gli $x>=0$.
Chiaramente, la serie converge (sia assolutamente che semplicemente) per $x=0$, poiché in tal caso si duce ad una serie con addendi definitivamente nulli; quindi possiamo supporre $x!=0$.
Detto ciò, dato che i termini della serie possono avere segno variabile (ad esempio, quando $x<0$ hai una serie a segni alterni), andiamo a vedere se la serie è assolutamente convergente.
Applicando il Criterio del Rapporto alla serie dei moduli, si trova:
\[
\lim_n \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_n \frac{(n+2)}{(n+1)^2}\ |x| =0\; ,
\]
ergo la serie converge assolutamente pure per ogni $x!=0$.
Morale della favola: la serie assegnata converge assolutamente e, quindi, pure semplicemente per ogni valore di $x\in RR$.
Perciò, lo studio della convergenza va fatto considerando $x\in RR$ e non solo gli $x>=0$.
Chiaramente, la serie converge (sia assolutamente che semplicemente) per $x=0$, poiché in tal caso si duce ad una serie con addendi definitivamente nulli; quindi possiamo supporre $x!=0$.
Detto ciò, dato che i termini della serie possono avere segno variabile (ad esempio, quando $x<0$ hai una serie a segni alterni), andiamo a vedere se la serie è assolutamente convergente.
Applicando il Criterio del Rapporto alla serie dei moduli, si trova:
\[
\lim_n \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_n \frac{(n+2)}{(n+1)^2}\ |x| =0\; ,
\]
ergo la serie converge assolutamente pure per ogni $x!=0$.
Morale della favola: la serie assegnata converge assolutamente e, quindi, pure semplicemente per ogni valore di $x\in RR$.
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