Dubbi riguardo derivabilità in 2 variabili
...chiedo umilimente scusa per la mia domanda un po' banale, ma su qst argomento io ed i miei colleghi per via del prof universitario siamo abbastanza dubbiosi.
Sul libro marcellini-sbordone si afferma che un punto dell'aperto A di definizione di f e derivabile se le derivate parziali sono definite in quel punto.Ma se nn lo sono procediamo con il limite del rapporto incrementale fissata x e poi y e verifichiamo se esistono tali limiti?Inoltre per quanto riguarda la frontiera secondo quanto riportato dal libro bisogna verificare la continuità delle derivate.Il prof tuttavia in un punto di frontiera verifica solamente se esistono finiti i limiti delle derivate parziali, fissata la variabile opposta.come procedere per la verifica della derivabilità, senza per ora utilizzare la differenziabilità?grazie
Sul libro marcellini-sbordone si afferma che un punto dell'aperto A di definizione di f e derivabile se le derivate parziali sono definite in quel punto.Ma se nn lo sono procediamo con il limite del rapporto incrementale fissata x e poi y e verifichiamo se esistono tali limiti?Inoltre per quanto riguarda la frontiera secondo quanto riportato dal libro bisogna verificare la continuità delle derivate.Il prof tuttavia in un punto di frontiera verifica solamente se esistono finiti i limiti delle derivate parziali, fissata la variabile opposta.come procedere per la verifica della derivabilità, senza per ora utilizzare la differenziabilità?grazie
Risposte
...nessun consiglio?
"LSDV":
f e derivabile se le derivate parziali sono definite in quel punto
Questa è una definizione. Se almeno una delle derivate parziali non esiste, allora si dice che $f$ non è derivabile. I limiti dei rapporti incrementali si fanno proprio per scoprire se esistono le derivate parziali nel caso in cui questo non sia già evidente (ad esempio se $f$ è semplicemente una combinazione/composizione di funzioni derivabili, c'è un risultato che ti garantisce la sua derivabilità).
Non ho capito la parte riguardante la frontiera.
Per la frontiera bisogna vedere se
la derivata parziale è continua -da destra o da sinistra a seconda del caso.
la derivata parziale è continua -da destra o da sinistra a seconda del caso.
In realtà, per quanto riguarda la frontiera vuole sottolinearti che, se la funzione è definita su un dominio [tex]$D$[/tex] (inteso come chiusura di un aperto), puoi definire il rapporto incrementale per ogni punto interno. Ma questo non puoi farlo sulla frontiera, perché in ogni intorno del punto di frontiera, ce ne sarà almeno uno esterno al dominio, cioè in cui la funzione non è definita, quindi nemmeno il rapporto incrementale lo è; di conseguenza non ha senso calcolarne il limite.
Poi aggiunge che se la derivata parziale [tex]$f_{x_i}$[/tex] è una funzione continua all'interno del dominio, sai che [tex]$\lim_{x \to x_0} f_{x_i}(x)=f_{x_i}(x_0)$[/tex] (con [tex]$x_0$[/tex] punto appartenente all'interno di [tex]$D$[/tex]). Allora, puoi considerare li limite analogo per un punto di frontiera e, se esiste finito, definisci la derivata parziale in quel punto come il valore del limite; in poche parole, prolunghi la funzione derivata (parziale) per continuità.
Poi aggiunge che se la derivata parziale [tex]$f_{x_i}$[/tex] è una funzione continua all'interno del dominio, sai che [tex]$\lim_{x \to x_0} f_{x_i}(x)=f_{x_i}(x_0)$[/tex] (con [tex]$x_0$[/tex] punto appartenente all'interno di [tex]$D$[/tex]). Allora, puoi considerare li limite analogo per un punto di frontiera e, se esiste finito, definisci la derivata parziale in quel punto come il valore del limite; in poche parole, prolunghi la funzione derivata (parziale) per continuità.
grazie mille per le risposte, però a questo momento mi sorge un altro dubbio che spero mi riusciate a chiarire. Innanzitutto se in un punto interno all'insieme di definizione riesco mediante l'uso di limiti a prolungare la derivata si può applicare la condizione sufficiente di differenziabilità in quel punto? Per quanto riguarda la frontiera, se le caratteristiche topologiche dell'insieme me lo permettono(grazie yellow e oratio), e prolungo la derivata , la funzione è differenziabile in quel punto?
Quando tu prolunghi per continuità la funzione derivata, sei tu che definisci la derivata in quei punti in modo che sia continua*. In definitiva avrai una derivata continua e non c'è problema ad applicare il teorema del differenziale totale. Soltanto che, almeno per come l'ho dimostrato io, esso vale su un aperto, quindi va bene nei punti interni, ma per la frontiera non credo.
*Ad esempio nel caso di funzioni a una variabile:
Sia [tex]$f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$[/tex] definita da [tex]$x \mapsto x \log x$[/tex].
[tex]$0$[/tex] è un punto di frontiera in cui la funzione non è definita. Ma sai che [tex]$\lim_{x\to 0^+} f(x)=0$[/tex]
Allora la tua funzione prolungata per continuità sarà [tex]$\bar{f}(x)= \begin{cases} x \log x & \text{ se } x \neq 0 \\ 0 & \text{ se } x=0 \end{cases}$[/tex], che in [tex]$0$[/tex] è continua (a destra).
Lo stesso discorso ovviamente lo puoi fare per qualsiasi funzione, che sia una funzione derivata o meno.
*Ad esempio nel caso di funzioni a una variabile:
Sia [tex]$f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$[/tex] definita da [tex]$x \mapsto x \log x$[/tex].
[tex]$0$[/tex] è un punto di frontiera in cui la funzione non è definita. Ma sai che [tex]$\lim_{x\to 0^+} f(x)=0$[/tex]
Allora la tua funzione prolungata per continuità sarà [tex]$\bar{f}(x)= \begin{cases} x \log x & \text{ se } x \neq 0 \\ 0 & \text{ se } x=0 \end{cases}$[/tex], che in [tex]$0$[/tex] è continua (a destra).
Lo stesso discorso ovviamente lo puoi fare per qualsiasi funzione, che sia una funzione derivata o meno.
ciao a tutti , volevo sapere , quando devo studiare la derivabilità di una funzione a due varibili in un punto di frontiera del dominio , dove non posso applicare il limite del rapporto incremetale , mi hanno detto di studiare il segno della differenza F(x,y) - f (x0,y0) . Ma come si studia il segno , di una diseq a due variabili ?? con un punto test ???
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