Dubbi "premesse" ai teoremi
Come al solito, ho dei dubbi sulle "premesse" di molti teoremi enunciati in analisi 1.
Proposizione: Siano I un intervallo di $R$ e f:I---->$R$ se $g(x)$ è una primitiva di $f(x)$ ,allora ogni primitiva diffeisce di una costante.
perché tale proposizione la rende vera solo se f(x) è definita in un intervallo, mentre la definizione di primitiva, la da per una funzione definita in un sottoinsieme di R?
Proposizione: Siano I un intervallo di $R$ e f:I---->$R$ se $g(x)$ è una primitiva di $f(x)$ ,allora ogni primitiva diffeisce di una costante.
perché tale proposizione la rende vera solo se f(x) è definita in un intervallo, mentre la definizione di primitiva, la da per una funzione definita in un sottoinsieme di R?
Risposte
La funzione identicamente nulla su $RR \\ {0}$ è una primitiva della funzione identicamente nulla su $RR \\ {0}$.
Anche la funzione identicamente uguale a $1$ su $RR \\ {0}$ lo è.
Ma lo è anche la funzione che vale $0$ per $x<0$ e $1$ per $x>0$.
Che non differisce per una costante...
Come mai? Scavando, spunta fuori il teorema fondamentale del calcolo differenziale, ovvero il teorema di Lagrange.
Anche la funzione identicamente uguale a $1$ su $RR \\ {0}$ lo è.
Ma lo è anche la funzione che vale $0$ per $x<0$ e $1$ per $x>0$.
Che non differisce per una costante...
Come mai? Scavando, spunta fuori il teorema fondamentale del calcolo differenziale, ovvero il teorema di Lagrange.
"Fioravante Patrone":
La funzione identicamente nulla su $RR \\ {0}$ è una primitiva della funzione identicamente nulla su $RR \\ {0}$.
Anche la funzione identicamente uguale a $1$ su $RR \\ {0}$ lo è.
Ma lo è anche la funzione che vale $0$ per $x<0$ e $1$ per $x>0$.
Che non differisce per una costante...
Come mai? Scavando, spunta fuori il teorema fondamentale del calcolo differenziale, ovvero il teorema di Lagrange.
non ho capito.
"Nausicaa91":
[quote="Fioravante Patrone"]La funzione identicamente nulla su $RR \\ {0}$ è una primitiva della funzione identicamente nulla su $RR \\ {0}$.
Anche la funzione identicamente uguale a $1$ su $RR \\ {0}$ lo è.
Ma lo è anche la funzione che vale $0$ per $x<0$ e $1$ per $x>0$.
Che non differisce per una costante...
Come mai? Scavando, spunta fuori il teorema fondamentale del calcolo differenziale, ovvero il teorema di Lagrange.
non ho capito.[/quote]Disegna i grafici delle tre funzioni.
E poi dimmi se la terza differisce per una costante dalla prima funzione.
sì ho capito... ma come faccio a dire che la terza non differisce dalla prima per una costante? Cioè, a scriverlo formalmente?
Se faccio la derivata di entrambe esce 0-0... o no?
Se faccio la derivata di entrambe esce 0-0... o no?
"Nausicaa91":
sì ho capito... ma come faccio a dire che la terza non differisce dalla prima per una costante? Cioè, a scriverlo formalmente?
Ad esempio, così: se chiamo $f$ la prima funzione e $h$ la terza, ho che: $h(1)-f(1) = 1$, mentre $h(-1)-f(-1) = 0$. Quindi la funzione $h-f$ assume due valori diversi, pertanto non è costante.
"Nausicaa91":Questa frase preferirei non averla letta. Dovresti fare come nel gioco dell'oca e tornare al tuo post iniziale. Rifletti su quello che scrivi, per cortesia
Se faccio la derivata di entrambe esce 0-0... o no?
adesso è chiaro, grazie!
p.s. avevo sbagliato ad interpretare ciò che avevi scritto, comunque adesso ho capito.
p.s. avevo sbagliato ad interpretare ciò che avevi scritto, comunque adesso ho capito.
posso chiedere un'altra cosa?
negli infinitesimi c'è una proposizione
siano $x_0$ appartenente ad $R$ e f una funzione infinitesima in $x_0$
se qualunque sia n appartente ad N
si ha
$lim_(x->x_0) f(x)/(|x-x_o|^n)=0$
allora f è un infinitesimo di ordine infinito.
Ho capito il senso, ma non capisco invece perché si prenda un numero naturale e non un numero reale alfa.
negli infinitesimi c'è una proposizione
siano $x_0$ appartenente ad $R$ e f una funzione infinitesima in $x_0$
se qualunque sia n appartente ad N
si ha
$lim_(x->x_0) f(x)/(|x-x_o|^n)=0$
allora f è un infinitesimo di ordine infinito.
Ho capito il senso, ma non capisco invece perché si prenda un numero naturale e non un numero reale alfa.
Prendi un numero reale $a$. E poi prendi un intero più grosso, $K$: visto che sai che va a zero più rapidamente di $|x - x_0|^K$, andrà anche più rapidamente di $|x - x_0|^a$.
CAPITO, GRAZIE.
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