Dubbi problema di Cauchy
Buongiorno, ho un dubbio su un problema di Cauchy.
La richiesta è determinare la soluzione di $y''=1/(2x)((y')^2-1)$ ,$x!=0$ che abbia un punto di contatto del secondo ordine con $h(x)=x^2-x$. $(1)$
Ciò che non mi è chiaro è questo fatto: io come punto di contatto del secondo ordine $(x_0,y_0)$ tra 2 funzioni $g(x)$ e $h(x)$ ricordavo la definizione : $g(x_0)=h(x_0)$, $g'(x_0)=h'(x_0)$, $g''(x_0) != h''(x_0)$
Dunque con un esempio pratico: data la soluzione del PC $y(x)=4/3x^2 + Bx +D$, vi è in $(1,0)$ un punto di contatto del secondo ordine con $h(x)=3x-5$?
io avrei verificato se il seguente sistema avesse soluzione: $\{(4/3+B+D=3-5),(8/3+B=3),(8/3 !=0):}$
è corretto? oppure avrei potuto saltare la verifica che $y''(x) != h''(x)$ ?
La soluzione dell' esercizio $(1)$ che riporta i seguenti passaggi mi scombussola tutto il ragionamento:
trova $y(x)=-x-(2/C)*ln(1-Cx) + D$ e fino a qui ok! Ma poi per trovare il punto di contatto risolve il seguente sistema: $\{(y''=1/(2x)((y')^2-1)=h''(x)=2),(y'=h'(x)=2x-1):}$ e trova $x=2$. Perchè pone $y''(x)=h''(x)$? Non mi è chiaro per nulla!
Poi, e qui ci sono, risolve il sistema tra la soluzione $y(x)$ e $y'(x)$ usando le condizioni che $y(2)=h(2)=2$ e $y'(2)=h'(2)=3$
Qualcuno potrebbe spiegarmi dove mi sto perdendo? oppure se vi sono errori?
Grazie mille
La richiesta è determinare la soluzione di $y''=1/(2x)((y')^2-1)$ ,$x!=0$ che abbia un punto di contatto del secondo ordine con $h(x)=x^2-x$. $(1)$
Ciò che non mi è chiaro è questo fatto: io come punto di contatto del secondo ordine $(x_0,y_0)$ tra 2 funzioni $g(x)$ e $h(x)$ ricordavo la definizione : $g(x_0)=h(x_0)$, $g'(x_0)=h'(x_0)$, $g''(x_0) != h''(x_0)$
Dunque con un esempio pratico: data la soluzione del PC $y(x)=4/3x^2 + Bx +D$, vi è in $(1,0)$ un punto di contatto del secondo ordine con $h(x)=3x-5$?
io avrei verificato se il seguente sistema avesse soluzione: $\{(4/3+B+D=3-5),(8/3+B=3),(8/3 !=0):}$
è corretto? oppure avrei potuto saltare la verifica che $y''(x) != h''(x)$ ?
La soluzione dell' esercizio $(1)$ che riporta i seguenti passaggi mi scombussola tutto il ragionamento:
trova $y(x)=-x-(2/C)*ln(1-Cx) + D$ e fino a qui ok! Ma poi per trovare il punto di contatto risolve il seguente sistema: $\{(y''=1/(2x)((y')^2-1)=h''(x)=2),(y'=h'(x)=2x-1):}$ e trova $x=2$. Perchè pone $y''(x)=h''(x)$? Non mi è chiaro per nulla!
Poi, e qui ci sono, risolve il sistema tra la soluzione $y(x)$ e $y'(x)$ usando le condizioni che $y(2)=h(2)=2$ e $y'(2)=h'(2)=3$
Qualcuno potrebbe spiegarmi dove mi sto perdendo? oppure se vi sono errori?
Grazie mille
Risposte
Contatto di ordine $n$ vuol dire che si hanno le prime $n$ derivate coincidenti (oltre al valore della funzione, ovviamente).
"gugo82":
Contatto di ordine $n$ vuol dire che si hanno le prime $n$ derivate coincidenti (oltre al valore della funzione, ovviamente).
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... %20del,h(x)%20si%20annullano.&text=0%20il%20contatto%20%C3%A8%20del%20secondo%20ordine%2C%20ovvero%20le%20due,'''(x_0)%20!%3D
Perché online trovo sia la definizione come da te data sia quella così posta?
Che criterio vi è?
Perché alcuni inseriscono lo $0$ in $NN$ ed altri no?
Bhe perdonami...ma data $y(x)=1/2x^2 +Bx+D$ e $h(x)=x-1$ e il punto $(1,0)$.
Con una definizione è di contatto del secondo ordine, con un altro no!
È normale? Come deve fare uno?
Con una definizione è di contatto del secondo ordine, con un altro no!
È normale? Come deve fare uno?
"Aletzunny":
Bhe perdonami...ma data $y(x)=1/2x^2 +Bx+D$ e $h(x)=x-1$ e il punto $(1,0)$.
Con una definizione è di contatto del secondo ordine, con un altro no!
È normale? Come deve fare uno?
Chiedere al docente quale definizione usa.
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