Dubbi pre-esame! Aiuto! :S
Salve a tutti ragazzi.. mancano ormai pochissimi giorni all'esame e tantissimi dubbi mi attanagliano! Spero mi possiate dare una mano nel chiarirmi le idee vista sempre la vostra disponibilità.
Più si avvicina l'esame più i dubbi aumentano!Help me!
1) Ho un dubbio su questo esercizio, il mio professore ha scritto:
$ lim_(x ->0+ ) x^(a-1)sen 1/h $ Studiando tale limite, il limite tende a 0 per a-1>0 (a>1), mentre per a=1 e a-1<0 (a<1) il limite non esiste. Ma com'è possibile Mi sembra proprio strano!
2) Altro limite che non mi torna è il seguente.. $ lim_(x -> 0+) ax^(a-1) sen(1/x) - x^(a-2) cos(1/x) $ Studiando il limite risulta che per a>2 il limite tende a 0, mentre per 1
3) Un esercizio che invece non so proprio come svolgere è il seguente:
$ f(x)= e^(-x)+x-e $ Le richieste sono: a) Quante soluzioni ha f(x)=0? b) Qual è il più ampio intervallo contente x=1 su cui f è invertibile?
4) Cosa significa dire che quando la derivata è costante la funzione è monotona? Forse che mantiene lo stesso andamento? (sempre crescente, sempre decrescente)
5) Il prof ha riportato come esempio di punto angoloso in x=0 la seguente funzione.
$ y=(1-cosx)^(1/2) $ Ma a me risulta un punto di non derivabilità ma mi verrebbe un punto di flesso a tangente verticale..
6) E' giusto dire che questo limite tende a 0 per confronto tra infiniti???
$ lim_(x -> +-oo) e^(-|x|) (x^2-5x+6)^(1/2)=0 $
7) Quando c'è il modulo in una funzione da studiare c'è sempre un punto angoloso in corrispondenza di quel punto? So che bisognerebbe verificarlo ma in linea teorica si può giungere a tale conclusione?
Ad esempio una funzione che contiene |x| ha punto angoloso in x=0 mentre una funzione che contiene |x-2| ha punto angoloso in x=2.
8) Cosa si intende per prolungare una funzione per continuità?
9)
$ lim_(x -> +oo) b/n logn=0 $ non è una forma di indecisione oo*0 oppure il limite si risolve per confronto tra infiniti.. nel senso il confronto tra infiniti vale anche nel prodotto tra infiniti e non solo nel quoziente?
10) $ int_(0)^(2) |(x-1)(x+3)| dx = int_(0)^(1) (1-x)(x+3) dx + int_(1)^(2) (x-1)(x+3) dx $ perchè nell'intervallo tra 0 e 1 ci mette il -?
11) Se $ a~b...e^a~e^b $ questo dubbio riguarda la relazione di asintotico...
secondo me tale relazione $ a~b...e^a~e^b $ risulta vera invece il libro dice che è falsa...perchè?
12) Considerando la successione.. $ lim_(x -> +oo) 1/7n^0=1 $ ma infinito alla 0 non è una forma di indecisione? Il prof perchè in certi casi dà per scontato che faccia 1, in altri casi invece si preoccupa di risolvere la forma di indecisione?
13) $ lim_(x -> +oo) n^(1/n)=e^(1/nlogn)=e^(0*oo)= e^0=1 $ ma infinito*0 non è forma di indecisione?
14) Com'è possibile che in alcuni limiti per x che tende a oo si usano gli sviluppi di taylor-maclaurin centrati in x che tende a 0? Non sarebbe una cosa incongrua?
15) Dubbio IMPORTANTE (grazie al quale non ho passato analisi lo scorso appello).. I limiti notevoli per x che tende a 0 o le stime asintotiche per x che tende a 0 perchè vengono usate anche nei limiti per x che tende a oo.. Riporto un esempio del libro che a me suona strano perchè usa una stima asintotica per x tendente a 0 mentre il limite tende a oo. E non ce ne sono altri 3 in cui usa, a mio parere, stime che non potrebbe utilizzare.
$ lim_(x ->+oo) n(e^(1/(7n^2+1)^(1/2)))~n/(7n^2-1)^(1/2)=1/7^(1/2) $
16) Determinare continuità e derivabilità in x=0
$ { ( x^a sen1/x per x>0 ),( b-1 per x<=0 ):} $
A me la continuità ad esempio viene per b=1 e per b=2(a>1 e a=1 rispettivamente) mentre al prof la continuità viene per a>0 b=1... e per la derivabilità come procedo?
17) Non ho ancora ben capito... come si ricavano i punti di non derivabilità... in alcuni es. pone a volte la funzione f(x)=0 o a volte la derivata f'(x)=0 e considera i punti dove funzione e derivata si annullano come punti di non derivabilità. Io invece considero punti di non derivabilità i punti agli estremi del dominio (condizione di esistenza) della derivata prima. Qual è la strada giusta da seguire?
Spero non vi abbia annoiato con tutti i miei dubbi(sono davvero tanti eh!). Grazie mille in anticipo per le risposte!
Più si avvicina l'esame più i dubbi aumentano!Help me!
1) Ho un dubbio su questo esercizio, il mio professore ha scritto:
$ lim_(x ->0+ ) x^(a-1)sen 1/h $ Studiando tale limite, il limite tende a 0 per a-1>0 (a>1), mentre per a=1 e a-1<0 (a<1) il limite non esiste. Ma com'è possibile Mi sembra proprio strano!
2) Altro limite che non mi torna è il seguente.. $ lim_(x -> 0+) ax^(a-1) sen(1/x) - x^(a-2) cos(1/x) $ Studiando il limite risulta che per a>2 il limite tende a 0, mentre per 1
3) Un esercizio che invece non so proprio come svolgere è il seguente:
$ f(x)= e^(-x)+x-e $ Le richieste sono: a) Quante soluzioni ha f(x)=0? b) Qual è il più ampio intervallo contente x=1 su cui f è invertibile?
4) Cosa significa dire che quando la derivata è costante la funzione è monotona? Forse che mantiene lo stesso andamento? (sempre crescente, sempre decrescente)
5) Il prof ha riportato come esempio di punto angoloso in x=0 la seguente funzione.
$ y=(1-cosx)^(1/2) $ Ma a me risulta un punto di non derivabilità ma mi verrebbe un punto di flesso a tangente verticale..
6) E' giusto dire che questo limite tende a 0 per confronto tra infiniti???
$ lim_(x -> +-oo) e^(-|x|) (x^2-5x+6)^(1/2)=0 $
7) Quando c'è il modulo in una funzione da studiare c'è sempre un punto angoloso in corrispondenza di quel punto? So che bisognerebbe verificarlo ma in linea teorica si può giungere a tale conclusione?
Ad esempio una funzione che contiene |x| ha punto angoloso in x=0 mentre una funzione che contiene |x-2| ha punto angoloso in x=2.
8) Cosa si intende per prolungare una funzione per continuità?
9)
$ lim_(x -> +oo) b/n logn=0 $ non è una forma di indecisione oo*0 oppure il limite si risolve per confronto tra infiniti.. nel senso il confronto tra infiniti vale anche nel prodotto tra infiniti e non solo nel quoziente?
10) $ int_(0)^(2) |(x-1)(x+3)| dx = int_(0)^(1) (1-x)(x+3) dx + int_(1)^(2) (x-1)(x+3) dx $ perchè nell'intervallo tra 0 e 1 ci mette il -?
11) Se $ a~b...e^a~e^b $ questo dubbio riguarda la relazione di asintotico...
secondo me tale relazione $ a~b...e^a~e^b $ risulta vera invece il libro dice che è falsa...perchè?
12) Considerando la successione.. $ lim_(x -> +oo) 1/7n^0=1 $ ma infinito alla 0 non è una forma di indecisione? Il prof perchè in certi casi dà per scontato che faccia 1, in altri casi invece si preoccupa di risolvere la forma di indecisione?
13) $ lim_(x -> +oo) n^(1/n)=e^(1/nlogn)=e^(0*oo)= e^0=1 $ ma infinito*0 non è forma di indecisione?
14) Com'è possibile che in alcuni limiti per x che tende a oo si usano gli sviluppi di taylor-maclaurin centrati in x che tende a 0? Non sarebbe una cosa incongrua?
15) Dubbio IMPORTANTE (grazie al quale non ho passato analisi lo scorso appello).. I limiti notevoli per x che tende a 0 o le stime asintotiche per x che tende a 0 perchè vengono usate anche nei limiti per x che tende a oo.. Riporto un esempio del libro che a me suona strano perchè usa una stima asintotica per x tendente a 0 mentre il limite tende a oo. E non ce ne sono altri 3 in cui usa, a mio parere, stime che non potrebbe utilizzare.
$ lim_(x ->+oo) n(e^(1/(7n^2+1)^(1/2)))~n/(7n^2-1)^(1/2)=1/7^(1/2) $
16) Determinare continuità e derivabilità in x=0
$ { ( x^a sen1/x per x>0 ),( b-1 per x<=0 ):} $
A me la continuità ad esempio viene per b=1 e per b=2(a>1 e a=1 rispettivamente) mentre al prof la continuità viene per a>0 b=1... e per la derivabilità come procedo?
17) Non ho ancora ben capito... come si ricavano i punti di non derivabilità... in alcuni es. pone a volte la funzione f(x)=0 o a volte la derivata f'(x)=0 e considera i punti dove funzione e derivata si annullano come punti di non derivabilità. Io invece considero punti di non derivabilità i punti agli estremi del dominio (condizione di esistenza) della derivata prima. Qual è la strada giusta da seguire?
Spero non vi abbia annoiato con tutti i miei dubbi(sono davvero tanti eh!). Grazie mille in anticipo per le risposte!
Risposte
L'unico dubbio a cui il mio cervello a quest'ora sa rispondere con certezza è il 10:
Guardati il grafico della funzione. Se tu disegni $(x-1)(x+3)$ noterai che in una parte dell'intervallo $[0,2]$ assume valori negativi. Ma dove? Guarda caso proprio in $[0,1)$. Ma visto che la funzione chiede il valore assoluto, la parte negativa va "ribaltata" rispetto all'asse x. E la simmetria rispetto all'asse x come si fa? Invertendo il segno. Nel tuo caso il primo integrale avrebbe potuto benissimo essere anche scritto come $\int_0^1 (x-1)(-x-3)dx$.
Guardati il grafico della funzione. Se tu disegni $(x-1)(x+3)$ noterai che in una parte dell'intervallo $[0,2]$ assume valori negativi. Ma dove? Guarda caso proprio in $[0,1)$. Ma visto che la funzione chiede il valore assoluto, la parte negativa va "ribaltata" rispetto all'asse x. E la simmetria rispetto all'asse x come si fa? Invertendo il segno. Nel tuo caso il primo integrale avrebbe potuto benissimo essere anche scritto come $\int_0^1 (x-1)(-x-3)dx$.
Reputo ci siano troppe domande e, inoltre,non ci sono come da regolamento tuoi tentativi di risoluzione o spunti di riflessione. Forse dovresti separare le varie questioni in post diversi, magari pubblicandoli uno alla volta e aspettando che ti sia data una risposta prima di procedere con gli altri.
Ciao Zumbo
Troppe domande per un solo thread!
Ti rispondo al primo dubbio:
In realtà il limite che hai scritto vale - per $h ne 0$:
Credo che tu volessi scrivere
Così ti torna?
Troppe domande per un solo thread!
Ti rispondo al primo dubbio:
"Zumbo":
1) Ho un dubbio su questo esercizio, il mio professore ha scritto:
$ lim_(x ->0+ ) x^(a-1)sen 1/h $ Studiando tale limite, il limite tende a 0 per a-1>0 (a>1), mentre per a=1 e a-1<0 (a<1) il limite non esiste. Ma com'è possibile Mi sembra proprio strano!
In realtà il limite che hai scritto vale - per $h ne 0$:
$lim_(x ->0+ ) x^(a-1) sin (1/h)={ ( 0 qquad qquad qquad qquad if a>1 ),( sin(1/h) qquad if a=1 ),( +oo qquad qquad qquadif a<1 ):}$
Credo che tu volessi scrivere
$ lim_(x ->0+ ) x^(a-1)sin (1/x) = { ( 0 if a >1 ),( text(n.e.) if a<=1):}$
Così ti torna?
5) x=0 e' un punto angoloso!
$ f'(x)= (sen(x))/(2sqrt(1-cos(x))) $
$ (sen(x))/(2sqrt(1-cos(x)))~ x/(2sqrt(x^2/2))= 1/sqrt(2)x/(| x| )rarr +-1/sqrt(2) $ per $ xrarr 0^+- $
13) $ ln(n)/nrarr0 $ per $ nrarr+oo $ limite ben noto!
$ f'(x)= (sen(x))/(2sqrt(1-cos(x))) $
$ (sen(x))/(2sqrt(1-cos(x)))~ x/(2sqrt(x^2/2))= 1/sqrt(2)x/(| x| )rarr +-1/sqrt(2) $ per $ xrarr 0^+- $
13) $ ln(n)/nrarr0 $ per $ nrarr+oo $ limite ben noto!
"Brancaleone":
Ciao Zumbo
Troppe domande per un solo thread!
Ti rispondo al primo dubbio:
[quote="Zumbo"]1) Ho un dubbio su questo esercizio, il mio professore ha scritto:
$ lim_(x ->0+ ) x^(a-1)sen 1/h $ Studiando tale limite, il limite tende a 0 per a-1>0 (a>1), mentre per a=1 e a-1<0 (a<1) il limite non esiste. Ma com'è possibile Mi sembra proprio strano!
In realtà il limite che hai scritto vale - per $h ne 0$:
$lim_(x ->0+ ) x^(a-1) sin (1/h)={ ( 0 qquad qquad qquad qquad if a>1 ),( sin(1/h) qquad if a=1 ),( +oo qquad qquad qquadif a<1 ):}$
Credo che tu volessi scrivere
$ lim_(x ->0+ ) x^(a-1)sin (1/x) = { ( 0 if a >1 ),( text(n.e.) if a<=1):}$
Così ti torna?[/quote]
No continua a non tornarmi!! Non capisco perchè non esiste nei due intervalli!
Se ti puo' aiutare nel caso $ alpha =0 $ prova a considerare $ f(x)=1/xsin(1/x) $ che dopo un cambio di variabile $ y=1/x $ diventa: $ f(y)= ysin(y) $.
Ora per $ xrarr0^+- $ $ yrarr+-oo $.
Guardando il grafico di f(y) diventa immediato concludere che il limite di f(y) per $ yrarr+oo $ non esiste e similmente per $ yrarr-oo $
Dopodiche' i casi di non esistenza del limite anche per $ alpha !=0 $ diventano simili prendendo $ f(y)= y^betasen(y) $ con beta opportuno. Cambiano le curve tra le quali e' compreso il sen(y), detto in maniera semplicistica.
Ora per $ xrarr0^+- $ $ yrarr+-oo $.
Guardando il grafico di f(y) diventa immediato concludere che il limite di f(y) per $ yrarr+oo $ non esiste e similmente per $ yrarr-oo $
Dopodiche' i casi di non esistenza del limite anche per $ alpha !=0 $ diventano simili prendendo $ f(y)= y^betasen(y) $ con beta opportuno. Cambiano le curve tra le quali e' compreso il sen(y), detto in maniera semplicistica.
Ancora non mi è chiaro!
Segui i suggerimenti di ciampax e lascia in questo thread solo quello a cui hai ricevuto risposta, elimina il resto e postalo in topic separati.
Cosa non ti e' ancora chiaro?
Dal grafico di $ f(y)=ysin(y) $ riesci a vedere che il limite per $ yrarr+oo $ non esiste?
Se per assurdo tale limite esistesse, se fosse $ +oo $ allora dovrebbe essere $ f(y)>0 $ da un certo y in poi (pensa alla definizione di limite di una funzione che tende a $ +oo$), mentre se fosse un numero L, la funzione dovrebbe mantenersi entro una striscia intorno a tale valore ma cosi' non e' (pensa ancora alla definizione di una funzione che ha un asintoto orizzontale), oppure in alternativa considera che per esempio sia L>0 e allora per il teorema della permanenza del segno dovrebbe essere $ f(y)>0 $ per un y sufficientemente grande ma cosi' non e'.
Dal grafico di $ f(y)=ysin(y) $ riesci a vedere che il limite per $ yrarr+oo $ non esiste?
Se per assurdo tale limite esistesse, se fosse $ +oo $ allora dovrebbe essere $ f(y)>0 $ da un certo y in poi (pensa alla definizione di limite di una funzione che tende a $ +oo$), mentre se fosse un numero L, la funzione dovrebbe mantenersi entro una striscia intorno a tale valore ma cosi' non e' (pensa ancora alla definizione di una funzione che ha un asintoto orizzontale), oppure in alternativa considera che per esempio sia L>0 e allora per il teorema della permanenza del segno dovrebbe essere $ f(y)>0 $ per un y sufficientemente grande ma cosi' non e'.
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