Dubbi per l'esame orale
Ho purtroppo alcuni dubbi per l'esame orale che vorrei risolvere.
Le domande che mi sono posto e che trovo difficoltà a rispondere sono:
1) Ho un intervallo chiuso e limitato, e una $f$ continua in questo intervallo
Per weirstrass, c'è sempre un massimo e minimo.
Però, non specifica se è massimo e\o minimo assoluto o relativo, giusto?
2) In un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ possono esserci sia massimi relativi che assoluti? Si.
3) Formula di Taylor.
Quella che usiamo per fare gli esercizi dei limiti, è quella con il resto di Lagrange. E si applica solo in un intorno di $0$.
Questo vale anche per i confronti asintotici.
Ora le domande che non so rispondere:
1) La differenza 'sostanziale' tra massimo e\o minimo assoluto e\o relativo.
In poche parole, praticamente, qual è?
Perchè so scrivere che
massimo relativo in $[a,b]$ è del tipo:
$f(x_0)>=f(x)$ per ogni $x$ appartenente a quell'intervallo, in quanto poi $|x-x_0|0$
(cosi per il minimo relativo).
Se il professore mi chiede 'quale sia la differenza' come rispondo? :S:S:S
2) Sul libro non trovo la definizione di 'funzione trascendente' anche se ne parlo spesso per le funzioni trigonometriche, il numero di neper....ma cosa hanno di cosi 'particolare'? perchè si chiamano cosi?
Se riuscite a togliermi questi brutti dubbi, posso quasi dormire sereno.
Grazie.
Le domande che mi sono posto e che trovo difficoltà a rispondere sono:
1) Ho un intervallo chiuso e limitato, e una $f$ continua in questo intervallo
Per weirstrass, c'è sempre un massimo e minimo.
Però, non specifica se è massimo e\o minimo assoluto o relativo, giusto?
2) In un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ possono esserci sia massimi relativi che assoluti? Si.
3) Formula di Taylor.
Quella che usiamo per fare gli esercizi dei limiti, è quella con il resto di Lagrange. E si applica solo in un intorno di $0$.
Questo vale anche per i confronti asintotici.
Ora le domande che non so rispondere:
1) La differenza 'sostanziale' tra massimo e\o minimo assoluto e\o relativo.
In poche parole, praticamente, qual è?
Perchè so scrivere che
massimo relativo in $[a,b]$ è del tipo:
$f(x_0)>=f(x)$ per ogni $x$ appartenente a quell'intervallo, in quanto poi $|x-x_0|
(cosi per il minimo relativo).
Se il professore mi chiede 'quale sia la differenza' come rispondo? :S:S:S
2) Sul libro non trovo la definizione di 'funzione trascendente' anche se ne parlo spesso per le funzioni trigonometriche, il numero di neper....ma cosa hanno di cosi 'particolare'? perchè si chiamano cosi?
Se riuscite a togliermi questi brutti dubbi, posso quasi dormire sereno.
Grazie.
Risposte
"clever":
2) Sul libro non trovo la definizione di 'funzione trascendente' anche se ne parlo spesso per le funzioni trigonometriche, il numero di neper....ma cosa hanno di cosi 'particolare'? perchè si chiamano cosi?
Sono trascendenti tutte quelle funzioni che non sono algebriche* e le funzioni non esprimibili analiticamente( un esempio topico, campana di Gauss
)* Funzioni che che contengono cioè come operazioni: le standard dell'aritmetica(+,-,*,/), l'operazione di potenza e l'estrazione di radice
1) Non lo dice esplicitamente (forse) ma è implicito nell'enunciato del teorema: Se massimo e minimo per ${f(x)}$ (o se preferisci $cod\ f$) sono pensati al variare della $x$ su tutto $[a,b]$ dove $[a,b]=dom\ f$ secondo te sono assoluti o relativi?
2)Ricorda che in $[a,b]$ non ci stanno "minimo" o "massimo" ma semmai PUNTO di minimo e/o PUNTO di massimo. Questo perchè il massimo e il minimo (sia essi relativi o assoluti) sono valori che la funzione assume e per tanto vanno ricercati nel $cod\ f$ . Detto questo ricordati che il concetto di massimo (minimo) relativo è un concetto locale, cioè ristretto ad un intorno di un punto. Il concetto di massimo (minimo) assoluto è esteso invece a tutto il dominio della funzione.
3)Veramente di solito proprio nel calcolo dei limiti attraverso sviluppo di Taylor si utilizza la formula col resto di Peano in quanto non hai il bisogno dell'espressione precisa dell'errore, cosa che si ha invece con il resto di Lagrange.
2)Ricorda che in $[a,b]$ non ci stanno "minimo" o "massimo" ma semmai PUNTO di minimo e/o PUNTO di massimo. Questo perchè il massimo e il minimo (sia essi relativi o assoluti) sono valori che la funzione assume e per tanto vanno ricercati nel $cod\ f$ . Detto questo ricordati che il concetto di massimo (minimo) relativo è un concetto locale, cioè ristretto ad un intorno di un punto. Il concetto di massimo (minimo) assoluto è esteso invece a tutto il dominio della funzione.
3)Veramente di solito proprio nel calcolo dei limiti attraverso sviluppo di Taylor si utilizza la formula col resto di Peano in quanto non hai il bisogno dell'espressione precisa dell'errore, cosa che si ha invece con il resto di Lagrange.
"Orlok":
1) Non lo dice esplicitamente (forse) ma è implicito nell'enunciato del teorema: Se massimo e minimo per ${f(x)}$ (o se preferisci $cod\ f$) sono pensati al variare della $x$ su tutto $[a,b]$ dove $[a,b]=dom\ f$ secondo te sono assoluti o relativi?
2)Ricorda che in $[a,b]$ non ci stanno "minimo" o "massimo" ma semmai PUNTO di minimo e/o PUNTO di massimo. Questo perchè il massimo e il minimo (sia essi relativi o assoluti) sono valori che la funzione assume e per tanto vanno ricercati nel $cod\ f$ . Detto questo ricordati che il concetto di massimo (minimo) relativo è un concetto locale, cioè ristretto ad un intorno di un punto. Il concetto di massimo (minimo) assoluto è esteso invece a tutto il dominio della funzione.
3)Veramente di solito proprio nel calcolo dei limiti attraverso sviluppo di Taylor si utilizza la formula col resto di Peano in quanto non hai il bisogno dell'espressione precisa dell'errore, cosa che si ha invece con il resto di Lagrange.
1) massimo e minimo assoluti, altrimenti avrebbe menzionato un $delta>0$ tale che $|x-x_0|
2) Si, ora mi è chiara la faccenda.
Massimo e minimo è la $f(x_0)$ cioè il valore che la funzione assume in quel punto critico di massimo o minimo.
Relativo: in un intorno di $x_0$ partendo da $delta>0$
Assoluto: concetto esteso a tutto il dominio della funzione
3) Oh! Perfetto, sta cosa mi era sfuggita.
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