Dubbi passaggi matematici

[Dario_Mgs]

Ciao a tutti sto riscontrando un po' di problemi nel capire, dopo la derivazione di questa funzione, come si arrivi alla formulazione che vi posterò alla fine del post.
Spero possiate aiutarmi vi ringrazio in anticipo dell'aiuto.

Si parte da qui:

$tgvartheta = tgvarphi cosalpha $

A questo punto il libro fa il differenziale di teta e fi e ottiene quanto segue

$1/(cos^2vartheta )dvartheta /dt=1/(cos^2varphi )dvarphi /dt cosalpha $

Adesso, la derivata di teta rispetto al tempo è la velocità angolare 1 che chiameremo beta 1 e stessa cosa per la derivata di fi rispetto al tempo che è la velocità angolare due del nostro sistema, otteniamo dunque:

$1/(cos^2vartheta )beta 1=1/cos^2varphi beta 2cosalpha $

da qui in poi non capisco i passaggi del libro:

$1/cos ^2vartheta *beta 1=cosalpha (1+tg^2varphi )*beta 2$

non è importante chi sono i vari termini ai fini del mio dubbio, ci scrivo precisamente i due passaggi successivi del libro, a cui non riesco ad arrivare, perché non ho capito bene che "trasformazioni" faccia:

$1/cos^2vartheta*beta 1 =cosalpha ( 1+ (tg^2vartheta)/cos^2alpha ) beta 2 $

Per scrivere infine quanto segue:

$(beta 2)/(beta 1)=(cosalpha )/(sin^2vartheta +cos^2alpha cos^2vartheta )=(cosalpha )/(1-sin^2alpha cos^2vartheta )$

Ringrazio chi mi aiuterà

[seb1]

Beh, per prima cosa:\[\frac{1}{\cos^2{\varphi}}=\frac{\cos^2{\varphi}+\sin^2{\varphi}}{\cos^2{\varphi}}=1+\tan^2{\varphi}\] Poi, ricordando l'equazione di partenza:\[\tan{\varphi}=\frac{\tan{\vartheta}}{\cos{\alpha}}\] e sostituisce. Infine:\[\frac{\beta_1}{\cos^2{\vartheta}}=\frac{\cos^2{\alpha}+\tan^2{\vartheta}}{\cos{\alpha}}\beta_2\implies\frac{\beta_2}{\beta_1}=\frac{\cos{\alpha}}{\cos^2{\vartheta(\cos^2{\alpha}+\tan^2{\vartheta})}}=\frac{\cos{\alpha}}{\cos^2{\vartheta}\cos^2{\alpha}+\sin^2{\vartheta}}\] e si conclude considerando l'identità fondamentale \(\cos^2{x}+\sin^2{x}=1\), applicandola prima relativamente a \(\alpha\) e poi a \(\vartheta\).

[Dario_Mgs]

Grazie mille, gentilissimo